又B1C?平面DCB1,故只需BE?B1C即可.因为BB1?B1D1?BD?BC,故当得BE?B1C,即B1D?平面BD1E.故②正确.
对③,当E在C时总有CG与平面EBD1相交,故③错误.
对④,四边形BED1F的周长C0?2(BE?ED1),分析BE?ED1即可.
BB1BC 时存在点E,使?BCCE将矩形BCC1B1沿着CC1展开使得B在DC延长线上时,此时B的位置设为P,则线段D1P与CC1的交点即为使得截面四边形BED1F的周长取得最小值时的唯一点E.故④正确.
故答案为:①②④
19.如图,矩形ABCD中,M为BC的中点,将?ABM沿直线AM翻折成?AB1M,连结B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的序号是_______. ①存在某个位置,使得CN?AB; ②翻折过程中,CN的长是定值; ③若AB?BM,则AM?B1D;
④若AB?BM?1,当三棱锥B1?AMD的体积最大时,三棱锥B1?AMD的外接球的表面积是4?.
【答案】②④
【解析】
对于①:如图1,取AD中点E,连接EC交MD与F,则NE∥AB1,NF∥MB1,
如果CN⊥AB1,可得到EN⊥NF,又EN⊥CN,且三线NE,NF,NC共面共点,不可能,故①错.
对于②:如图1,可得由∠NEC=∠MAB1(定值),NE?1AB1(定值),AM=EC(定值), 2由余弦定理可得NC2=NE2+EC2﹣2NE?EC?cos∠NEC,所以NC是定值,故②正确.
对于③:如图2,取AM中点O,连接B1O,DO,易得AM⊥面ODB1,即可得OD⊥AM,从而AD=MD,显然不成立,可得③不正确.
对于④:当平面B1AM⊥平面AMD时,三棱锥B1﹣AMD的体积最大,易得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心,球半径为1,表面积是4π.故④正确. 故答案为②④.
20.四棱锥P?ABCD中,PA?平面ABCD,?BAD?90?,PA?AB?BC?已知Q是四边形ABCD内部一点,且二面角Q?PD?A的平面角大小为成面积为S1,S2(S1?S2)的两部分,则S1:S2?________.
1AD?1,BC//AD,2?,若动点Q的轨迹将ABCD分4【答案】35?4 4【解析】
以A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图:设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q(0,b,0)(b>0).
由题意可知A(0,0,0),D(2,0,0),P(0,0,1),
uuuruuuruuur∴DP=(﹣2,0,1),DQ=(﹣2,b,0). AD=(2,0,0).
uruur设平面APD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PDQ的法向量为n2=(x2,y2,z2)
uvuuuvuuvuuuv??n1?DP?0??n2?DP?0uvuuuvvuuuv,, 则??uu??n1?AD?0??n2?DQ?0??2x1?z1?0??2x2?z2?0,?即?,
?2x1?0??2x2?by2?0uruur2令y1=0得n1=(0,1,0),令z2=2得n2=(1,,2).
buvuuv2uvuuv4∴n1?n2?,n1?1,n2?5?2.
bb∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为
uvuuvn1?n22uvuuv?.即uvuuv∴cos<n1?n2>=
2n1n22b5??, 4?2,解得b=25. 254b21122AD?AQ??2?5?5. 225512325??5. S梯形ABCD﹣S△ADQ=?(1?2)?1?25253225,S2=5.∴S1:S2=(35﹣4)∵S1<S2,∴S1=?:4. 255∴S△ADQ=
故答案为(35﹣4):4.
AB?4,AD?2,21.如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点.将VADE沿DE翻折,得到四棱锥A1?DEBC.设
A1C的中点为M,在翻折过程中,有下列三个命题:
①总有BM∥平面A1DE; ②线段BM的长为定值;
③存在某个位置,使DE与A1C所成的角为90°. 其中正确的命题是_______.(写出所有正确命题的序号) 【答案】①② 【解析】
取A1D的中点N,连接MN,EN, 则MN为△A1CD的中位线, ∴MN∥
11CD,且MN=CD 2211CD,且BE=CD 22又E为矩形ABCD的边AB的中点,∴BE∥
∴MN∥BE,且MN=BE即四边形MNEB为平行四边形,∴BM∥EN, 又EN?平面A1DE,BM?平面A1DE, ∴BM∥平面A1DE,故①正确;
由四边形MNEB为平行四边形可得BM=NE,
而在翻折过程中,NE的长度保持不变,故BM的长为定值,故②正确; 取DE的中点O,连接A1O,CO, 由A1D=A1E可知A1O⊥DE, 若DE⊥A1C,则DE⊥平面A1OC,
∴DE⊥OC,又∠CDO=90°﹣∠ADE=45°, ∴△OCD为等腰直角三角形,故而CD?而OD?2OD,
1DE?2,CD=4,与CD?2OD矛盾,故DE与A1C所成的角不可能为90°. 2故③错误. 故答案为①②.
22.如图,已知圆锥的顶点为S,底面圆O的两条直径分别为AB和CD,且AB⊥CD,若平面SAD?平面
SBC?l.现有以下四个结论:
①AD∥平面SBC; ②l//AD;
③若E是底面圆周上的动点,则△SAE的最大面积等于△SAB的面积; ④l与平面SCD所成的角为45°. 其中正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】
由AB和CD是圆O得直径及AB⊥CD,得四边形ABCD为正方形,则AD∥BC,
从而AD∥平面SBC,则①正确;又因为AD?平面SAD,且SAD?平面SBC?l,所以l//AD,则②正确;因为SVSAE?1SA?SEsin?ASE,当∠ASB为钝角时,?SnSAE?max>SnSAB; 2当∠ASB为锐角或直角时,?SnSAE?max?SnSAB,则③不正确;由l//AD,得l与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角,即为∠ADO,又因为∠ADO=45°,故④正确. 故答案为①②④
23.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,ED?平面ABCD,FB?平面ABCD,且ED?FB?1,G为线段EC上的动点,则下列结论中正确的是______