由BD//B1D1,A1D//B1C，
利用平面与平面平行的判定，可得证得平面A1BD//平面B1D1C， 设平面A1BD与AC1交于M，可得DM//平面B1CD1，所以②正确； 连接AD1交A1D于点O，过O点作OM?AC1,
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AD1?平面ABC1D1，所以AD1?OM， 所以OM为异面直线A1D与AC1的公垂线，
OMOAOA?C1D12?26???根据?AOE~?AC1D1，所以，即OM?， C1D1AC1AC1323所以?A1DM的最小面积为S?ADM?111623. ?A1D?OM??22??223323,23)，所以③不正确； 3所以若?A1DM的面积为S，则S?[再点P从AC1的中点向着点A运动的过程中，S1从1减少趋向于0，即S1?(0,1)，
S2从0增大到趋向于2，即S2?(0,2)，在此过程中，必存在某个点P使得S1=S2， 所以④是正确的. 综上可得①②④是正确的. 故选：C.
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点．有以下三个命题：
①异面直线AC1与B1F所成的角是定值； ②三棱锥B?A1EF的体积是定值；
③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值． 其中真命题的个数是( ) A．3 【答案】B 【解析】
以A点为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），
B．2
C．1
D．0
uuuuruuuuruuuuruuuur可得AC1=(1,1,1),B1F=(t-1，1，-t)，可得AC1×B1F=0，故异面直线AC1与B1F所的角是定值，故①
正确；
三棱锥B?A1EF的底面A1BE面积为定值，且CD1∥BA1,点F是线段CD1上的一个动点，可得F点到底面
A1BE的距离为定值，故三棱锥B?A1EF的体积是定值，故②正确；
uuuuruuuruuuurrBCD可得A1F=(t，1，-t)，B1C=(0,1,-1),B1D1=(-1,1,0),可得平面11的一个法向量为n=（1，1，1），
uuuurr可得cosA1F,n不为定值，故③错误;
故选B.
6．如图，矩形ABCD中，AB?2AD,E为边AB的中点，将?ADE直线DE翻转成?A1BE(A?平面
ABCD)，若M,O分别为线段A1C,DE的中点，则在?ADE翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A．与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直 B．异面直线BM与A1E所成角是定值 C．一定存在某个位置，使DE?MO
D．三棱锥A1?ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
【答案】C 【解析】
/A1D,NB//DE， 取DC中点N，连MN,NB,则MN/?所以平面MNB/?/平面A1DE，即MB/?/平面A1DE，A正确； 取A1D的中点为F,连接MF,EF，则平面BEFM是平行四边形， 所以?A1EF为异面直线BM与A1E所成角，故B正确；
A关于直线DE对称点N，则DE?平面A1AN，即过O与DE垂直的直线在平面A1AN上，故C错误； 三棱锥A1?ADE外接球的半径为故选C.
2AD，故D正确. 2
7．已知平面
平面
，与平面
D．
，且
.
是正方形，在正方形
内部有一点，满足A． B． C．【答案】C
所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( )
【解析】根据题意，以为原点，分别以图1所示，则均为锐角，且
，
，设，所以
，整理得
所在直线为，易知直线
轴，建立空间直角坐标系与平面
，即
所的角分别为
，因此
，如
，
，由此可得，点在正方形内的轨迹
是以点为圆心，半径为的圆弧上，如图2所示，易知圆心角，所以
.故选C.
8．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，有下列四个命题：
①若D1M?CP，则?BCM面积的最小值为②平面A1BD内存在与D1C1平行的直线；
③过A作平面?，使得棱AD，AA1，D1C1在平面?的正投影的长度相等，则这样的平面?有4个； ④过A作面?与面A1BD平行，则正方体ABCD?A1B1C1D1在面?的正投影面积为3． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）
5； 10
A．1 【答案】C 【解析】
B．2 C．3 D．4
对于①，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；
过M作MG?平面ABCD，G是垂足，过G作GH?BC，交BC于H，连结MH， 则D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(1,0,)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，
uuuruuuuur1设M(1,a,b)，则D1M?(1,a,b?1)，CP?(1,?1,)，
2∵D1M?CP，
12uuuuuruuur11∴D1M?CP?1?a?b??0，解得2a?b?1，
22∴CH?1?a，MG?b?2a?1，
MH?GH2?MG2?(1?a)2?(2a?1)2?5a2?6a?2，
∴S?BCM?11131115?BC?MH??1?5a2?6a?2??5(a?)2???， ?222552510当a?35时，(S?BCM)min?，①正确； 510对于D1C1//DC，DCI平面A1BD?D，所以D1C1也与平面A1BD相交．故②错；
AA1，D1C1在平面?的正投影的长度相等，③过A作平面?，使得棱AD，因为D1C1//AB，且D1C1?AB，
故D1C1在平面?的正投影的长度等于AB在平面?的正投影的长度，使得棱AD，AA1，D1C1在平面?的正投影的长度相等，即使得使得棱AD，AA1，AB面?的正投影的长度相等，若棱AD，AA1，AB面?的同侧，则?为过A且与平面A1BD平行的平面，若棱AD，AA1，AB中有一条棱和另外两条棱分别在平面?的异侧，则这样的平面?有3个，故满足使得棱AD，AA1，D1C1在平面?的正投影的长度相等的平面?有4个；③正确．
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题24立体几何中的综合问题（解析版）
