则FQ∥DE,因为DE⊥平面ACD,所以FQ⊥平面ACD.又由(I)可知FQ,FD,FA两两垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的坐标系,分别求出平面ABC和平面ACD的法向量n和m,求出向量n和m夹角的余弦值,结合图形即可求得结果.
方法点睛:利用向量方法计算空间角,常常在建立坐标系之前,要用几何法证明作为坐标轴三条直线两两垂直关系这是难点,也是失分点.另外,平面的法向量的夹角与二面角的关系,一定结合图形给予正确的判断.用向量方法的解题思路:(1)分析问题中关键要素;(2)用向量表示相关要素;(3)进行向量运算求得向量结果;(4)将向量结果翻译成几何结论. 5复习建议
(1)通过对近几年高考试题的分析,辨明立体几何知识考查方向.利用问题梳理知识,在问题解答过程中,熟悉解题方法.通过典例分析,练习训练,激发学生回忆,提取知识,激活沉睡在脑海中知识块,使知识板块之间相互运动、摩擦,达到相互融合,将立体几何知识与函数、不等式、三角等知识联系起来,形成知识网络.
(2)学习之道在于练、在于悟.对本专题全面系统地复习后,趁热打铁,让学生自己画出立体几何专题的思维导图.改变惯用的先梳理知识点,再例题讲解、练习巩固的复习模式.让学生在做中悟,悟出自己的问题和不足,悟出解决立体几何问题的思路和方法.激发学生自主复习的积极性和创造性,并体会成功的愉悦,提高课堂复习效率.
(3)不断刺激,避免遗忘.采取“保温”复习法,也就是在进行其他模块复习时,对已经复习的知识,相隔一段时间,教师应定期给予适量习题进行巩固训练,减少遗忘.
(4)数学课堂的教学过程,实际上就是解决问题的过程.教师通过设计恰当的问题链,激发学生思维,刺激学生回顾联想,提出解决问题的思路和方法,让学生在经历问题解决的过程中,感悟数学思想方法,提升数学素养.
最新模拟题强化
1.如图,四棱锥P?ABCD的底面是边长为2的正方形,PA?平面ABCD,且PA?4,M是PB上的一个动点,过点M作平面?//平面PAD,截棱锥所得图形面积为y,若平面?与平面PAD之间的距离为x,则函数y?f(x)的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】
过点M作MN//PA交AB于点N,点M作MF//BC交PC于点F,过点N作NE//AD交CD于点E,连接EF.
则面MNEF//平面PAD,y?SMNEF.
由PA?平面ABCD,可得MN?平面ABCD,平面?与平面PAD之间的距离为x?AN,且MNEF为直角梯形.
由MN//PA,MF//BC得
MN2?xMFx??所以MN?2?2?x?,MF?x. ,PA2BC2y?SMNEF?故选D.
MN?MF?NE?2??2?x??2?x??4?x2.
2.如图,点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个结论:
①三棱锥A?D1PC的体积不变;
②A1P//平面ACD1; ③DP?BC1;
④平面PDB1?平面ACD1.
其中正确的结论的个数是( )
A.1个 【答案】C 【解析】
B.2个 C.3个 D.4个
对于①,由题意知AD1//BC1,从而BC1//平面AD1C,
故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,
所以以P为顶点,平面AD1C为底面,则三棱锥A?D1PC的体积不变,故①正确; 对于②,连接A1B,A1C1,AC11//AD1且相等,由于①知:AD1//BC1, 所以BA1C1//面ACD1,从而由线面平行的定义可得,故②正确; 对于③,由于DC?平面BCB1C1,所以DC?BC1, 若DP?BC1,则BC1?平面DCP,
BC1?PC,则P为中点,与P为动点矛盾,故③错误;
对于④,连接DB1,由DB1?AC且DB1?AD1,
可得DB1?面ACD1,从而由面面垂直的判定知,故④正确. 故选:C.
?3.E为AB中点,F在线段DD1上.给出下列判断:如图,正方体ABCD?A1B1C1D1中,①存在点F使得AC1平面B1EF;②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线;③平面B1EF与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小与点F的位置无关;④三棱锥B?B1EF的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有( )
A.①② 【答案】D 【解析】
B.③④ C.①③ D.②④
对于①,假设存在F使得A1C⊥平面B1EF,则A1C⊥B1E,又BC⊥B1E,BC∩A1C=C,∴B1E⊥平面A1BC,则B1E⊥A1B,这与A1B⊥AB1矛盾,所以①错误;
对于②,因为平面B1EF与平面A1B1C1D1相交,设交线为l,则在平面A1B1C1D1内与l平行的直线平行于
平面B1EF,故②正确;
对于③,以D点为坐标原点,以DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间坐标系,则平面ABCD的法向量为m?(0,0,1)而平面B1EF的法向量n,随着F位置变化,故平面
urrB1EF与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小与点F的位置有关,故③错误;
对于④,三棱锥B?B1EF的体积即为三棱锥F?BB1E,因为DD1∥平面ABB1A1,所以,当F在线段DD1上移动时,F到平面ABB1A1的距离不变,故三棱锥B?B1EF的体积与点F的位置无关,即④正确. 故选:D.
4.在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中,点M是对角线AC1上的点(点M与A、C1不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点M,使得平面A1DM?平面BC1D; ②存在点M,使得DM//平面B1CD1; ③若?A1DM的面积为S,则S????23?,23?; ??3?④若S1、S2分别是?A1DM在平面A1B1C1D1与平面BB1C1C的正投影的面积,则存在点M,使得S1=S2. A.1个 【答案】C 【解析】
连接B1C,设平面A1B1CD与对角线AC1交于M,
由B1C?BC1,DC?BC1,可得B1C?平面A1B1CD,即B1C?平面A1DM, 所以存在点M,使得平面A1DM?平面BC1D,所以①正确;
B.2个
C.3个
D.4个
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题24立体几何中的综合问题(解析版)
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