2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题24立体几何中的综合问题
考点命题分析
1问题提出
立体几何是高中数学主干知识之一，在全国卷中，一般是选择题、填空题、解答题各一题，共计22分.考查的知识点包括:空间几何体的结构、直观图和三视图；空间几何体的表面积、侧面积、体积、棱长、点面距离和空间角的计算；与平面相关的四个公理和一个定理；与平行与垂直有关的八个定理.突出考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.
全国卷对立体几何的考查，以“三个观点”统一组织材料，一是“定型”考查，通过三视图、直观图来识图，用图作为空间想象能力考查的开始；二是“定性”考查，以判定定理和性质定理为核心，证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，进行思维发散考查；三是“定量”考查，以空间角、表面积、体积和高的计算进行思维聚合考查.试题坚持以空间想象能力立意，选择题和填空题注重几何图形构图的想象和辨识，解答题以垂直(平行)论证为核心，展开角的计算(理科)、体积和高的计算(文科)，注重空间向量在处理空间角过程中的作用，体现几何问题代数化的思想(理科).高考对立体几何知识的考查，有将立体几何知识体系向其他知识体系过渡综合考查的趋势，与导数、不等式、三角函数等知识综合考查，同时注重对数学文化的渗透.立体几何知识是考查考生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的重要载体.基于此，笔者从以下几个方面展开本专题的综合复习.
2通过识图、变图想图、构图、用图，培养空间想象能力 2.1以三视图为载体的问题
三视图是用平面图形来表征空间几何体的结构特征，凸显降维思想，即三维变二维，在现实世界中有着广泛的应用，如零件、建筑物的图纸，等等.因此，三视图是全国卷每年必考的内容.三视图所表征的几何体是什么，具有怎样的结构特征，如何作出所表示的几何体的直观图是难点.
例1如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
A．
B．
C．6
D．4
思路探究:此题作为选择题的压轴题，突出以能力立意的命题思想，考查学生的空间想象能力和识图、变图、想图和用图的能力.三视图都是三角形，但从三视图想象出该三视图所表示的几何体是难点.其核心问题是原来的几何体是什么?根据题意构造正方体
几何体顶点位置.可知三视图所表示的几何体就是四面体选C.
，如图，再利用交轨思想，通过线线的交点确定
.再计算各棱长进行比较，不难得出答案，应
方法点睛:解决三视图问题的基本思路，追根溯源是将三视图所表示的几何体恢复成原图.若三视图表示多面体，能建立三视图所表示的几何体与长方体、正方体、直棱柱等之间关系，我们就将原始的长方体正方体直棱柱画出，利用交轨思想，找到几何体的各个顶点，是突破难点的有效举措. 2.2以图形折叠为载体的问题
折叠问题是立体几何中的常见问题，在折叠过程中，哪些要素保持不变，以及折叠到终止状态时所形成的几何体结构特征，是解决折叠问题的关键要素.
例2如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边△ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为
.
思路探究:折叠终止时，几何体是一个正三棱锥.这个正三棱锥底面边长是一个变元，从而导致三棱锥体积的变化.如图所示，联结OE交AC于G，根据圆、等腰三角形、等边三角形图形对称性，可知OE⊥AC.虽然在折叠过程中，线段OE变为折线，但OG，GE与AC的垂直关系始终没有发生变化，OG+GE=5没有发生变化.又O是等边△ABC的中心，就可以建立OG与等边△ABC边长之间的关系.设△ABC的边长为a，折叠后D，E，F重合于点D'，则
，所以
.
.
故正三棱锥的高根据体积公式可知令f(a)=故而当a=
时，三棱锥的体积取最大值
.
. .
.
方法点睛:这是一道将立体几何知识与函数导数有机结合的综合性问题，在复习时要注重知识间的联系，基本不等式、函数与导数是解决最值问题的常用方法.在折叠问题中，注意到折叠过程中哪些要素在变化，哪些要素始终保持不变，其中不变要素是核心要素.根据平面图形的性质，寻找不变的数量关系，以及直线与直线平行和垂直位置关系，是解决折叠问题的突破口.因此，通过变图、想图、构图、用图，让学生动手操作、积极思考，从中体会解题程序和思考问题的方向性，减少走弯路，直击问题的本质，对培养学生转化
与化归、直观想象能力大有裨益.
3通过思辨论证训练，培养学生的逻辑推理能力
立体几何内容是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体.通过对直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的证明，着力培养学生逻辑推理能力.通过寻找位置关系成立的要素，往往通过分析方法，即要证明什么，只要证明什么，是一个复杂过程，但只要脉络清晰，执果索因，渐行渐近，逐步完成，就能顺利解答.
例3如图所示，四棱锥
中，底面ABCD是菱形，
，PA=PD，F为AD的中点，PD⊥BF.
(I)求证:AD⊥PB； (Ⅱ)若E在线段BC上，且结论.
思路探究:第(I)问要证AD⊥PB，只要证明PB垂直于经过AD的一个平面，或者证明AD垂直于经过PB的一个平面.如能证明AD垂直于经过PB的平面PBF，就能推得AD⊥PB要证AD⊥平面PBF，只要证明AD⊥BF和AD⊥PF.因为PA=PD，所以AD⊥PF，又ABCD是菱形，F是AD的中点，因此，AD⊥BF，从而证得AD⊥平面PBF，故AD⊥PB.
第(Ⅱ)问思路1:假设在棱PC上存在一点G，使平面DEG⊥平面ABCD，平面DEG内一定存在与平面ABCD垂直的直线.若平面DEG内有垂直于平面ABCD的直线，则只要在平面DEG内找到该直线.若平面DEG中没有垂直于平面ABCD的直线，则必须在平面DEG内作出与平面ABCD垂直的直线.由(I)知，AD⊥BF，PD⊥BF，可证BF⊥平面PAD，从而可证，平面ABCD⊥平面PAD.又AD⊥PF，所以PF⊥平面ABCD，如图所示，联结FC交DE于点Q，过Q作QG∥PF交PC于G，点G即为所要找的点，再由平面几何知识和条件，可得
.
，所以，△ABC是正三角形.又
，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD?并证明你的
思路2:根据思路1可知，FP，FD，FB两两垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
方法点睛:以下是证明平面与平面垂直的方法.(1)几何法:证明平面与平面垂直，转化为证明一个平面经过另一平面的一条垂线.(2)向量法:通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算进行求解.
在高考试题中，以立体几何为载体，综合考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力.其中垂直关系的证明是高考重点考查对象，也是空间几何的难点.若图形比较复杂，可以将空间图形进行分解，找出关键的平面，特别是底面，画出它们的平面图形，分析每个图形的几何性质，从而降低思维难度，也能很好地突破难点. 4通过向量应用，解决空间角的计算问题，培养学生的数学运算能力
空间向量是用代数方法解决空间几何问题的重要方法，也有利于培养学生的数形结合思想，降低思维难度，提高解题效率，有效地实现了几何问题的代数化，这也是高等几何中的重要方法.
例4如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点.
(I)求证:AF⊥平面CDE； (Ⅱ)求二面角CAB－E的大小.
思路探究:第(I)问要证明AF⊥平面CDE，只要证明AF垂直平面CDE内的两条相交直线，即证AF⊥DE，AF⊥CD.根据条件DE⊥平面ACD，得到AF⊥DE.因为AC=AD，F为CD中点，推得AF⊥CD.
第(Ⅱ)问利用向量方法解决空间角计算，要建立适当的坐标系，但已知条件没有直接给出两两垂直的三条直线，因此，在建立坐标系前必须证明两两垂直的三条直线.取CE的中点Q，联结FQ，因为F为CD的中点，
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题24立体几何中的综合问题（解析版）
