2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题24立体几何中的综合问题
考点命题分析
1问题提出
立体几何是高中数学主干知识之一,在全国卷中,一般是选择题、填空题、解答题各一题,共计22分.考查的知识点包括:空间几何体的结构、直观图和三视图;空间几何体的表面积、侧面积、体积、棱长、点面距离和空间角的计算;与平面相关的四个公理和一个定理;与平行与垂直有关的八个定理.突出考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.
全国卷对立体几何的考查,以“三个观点”统一组织材料,一是“定型”考查,通过三视图、直观图来识图,用图作为空间想象能力考查的开始;二是“定性”考查,以判定定理和性质定理为核心,证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,进行思维发散考查;三是“定量”考查,以空间角、表面积、体积和高的计算进行思维聚合考查.试题坚持以空间想象能力立意,选择题和填空题注重几何图形构图的想象和辨识,解答题以垂直(平行)论证为核心,展开角的计算(理科)、体积和高的计算(文科),注重空间向量在处理空间角过程中的作用,体现几何问题代数化的思想(理科).高考对立体几何知识的考查,有将立体几何知识体系向其他知识体系过渡综合考查的趋势,与导数、不等式、三角函数等知识综合考查,同时注重对数学文化的渗透.立体几何知识是考查考生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的重要载体.基于此,笔者从以下几个方面展开本专题的综合复习.
2通过识图、变图想图、构图、用图,培养空间想象能力 2.1以三视图为载体的问题
三视图是用平面图形来表征空间几何体的结构特征,凸显降维思想,即三维变二维,在现实世界中有着广泛的应用,如零件、建筑物的图纸,等等.因此,三视图是全国卷每年必考的内容.三视图所表征的几何体是什么,具有怎样的结构特征,如何作出所表示的几何体的直观图是难点.
例1如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A.
B.
C.6
D.4
思路探究:此题作为选择题的压轴题,突出以能力立意的命题思想,考查学生的空间想象能力和识图、变图、想图和用图的能力.三视图都是三角形,但从三视图想象出该三视图所表示的几何体是难点.其核心问题是原来的几何体是什么?根据题意构造正方体
几何体顶点位置.可知三视图所表示的几何体就是四面体选C.
,如图,再利用交轨思想,通过线线的交点确定
.再计算各棱长进行比较,不难得出答案,应
方法点睛:解决三视图问题的基本思路,追根溯源是将三视图所表示的几何体恢复成原图.若三视图表示多面体,能建立三视图所表示的几何体与长方体、正方体、直棱柱等之间关系,我们就将原始的长方体正方体直棱柱画出,利用交轨思想,找到几何体的各个顶点,是突破难点的有效举措. 2.2以图形折叠为载体的问题
折叠问题是立体几何中的常见问题,在折叠过程中,哪些要素保持不变,以及折叠到终止状态时所形成的几何体结构特征,是解决折叠问题的关键要素.
例2如图所示,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边△ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为
.
思路探究:折叠终止时,几何体是一个正三棱锥.这个正三棱锥底面边长是一个变元,从而导致三棱锥体积的变化.如图所示,联结OE交AC于G,根据圆、等腰三角形、等边三角形图形对称性,可知OE⊥AC.虽然在折叠过程中,线段OE变为折线,但OG,GE与AC的垂直关系始终没有发生变化,OG+GE=5没有发生变化.又O是等边△ABC的中心,就可以建立OG与等边△ABC边长之间的关系.设△ABC的边长为a,折叠后D,E,F重合于点D',则
,所以
.
.
故正三棱锥的高根据体积公式可知令f(a)=故而当a=
时,三棱锥的体积取最大值
.
. .
.
方法点睛:这是一道将立体几何知识与函数导数有机结合的综合性问题,在复习时要注重知识间的联系,基本不等式、函数与导数是解决最值问题的常用方法.在折叠问题中,注意到折叠过程中哪些要素在变化,哪些要素始终保持不变,其中不变要素是核心要素.根据平面图形的性质,寻找不变的数量关系,以及直线与直线平行和垂直位置关系,是解决折叠问题的突破口.因此,通过变图、想图、构图、用图,让学生动手操作、积极思考,从中体会解题程序和思考问题的方向性,减少走弯路,直击问题的本质,对培养学生转化
与化归、直观想象能力大有裨益.
3通过思辨论证训练,培养学生的逻辑推理能力
立体几何内容是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体.通过对直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的证明,着力培养学生逻辑推理能力.通过寻找位置关系成立的要素,往往通过分析方法,即要证明什么,只要证明什么,是一个复杂过程,但只要脉络清晰,执果索因,渐行渐近,逐步完成,就能顺利解答.
例3如图所示,四棱锥
中,底面ABCD是菱形,
,PA=PD,F为AD的中点,PD⊥BF.
(I)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)若E在线段BC上,且结论.
思路探究:第(I)问要证AD⊥PB,只要证明PB垂直于经过AD的一个平面,或者证明AD垂直于经过PB的一个平面.如能证明AD垂直于经过PB的平面PBF,就能推得AD⊥PB要证AD⊥平面PBF,只要证明AD⊥BF和AD⊥PF.因为PA=PD,所以AD⊥PF,又ABCD是菱形,F是AD的中点,因此,AD⊥BF,从而证得AD⊥平面PBF,故AD⊥PB.
第(Ⅱ)问思路1:假设在棱PC上存在一点G,使平面DEG⊥平面ABCD,平面DEG内一定存在与平面ABCD垂直的直线.若平面DEG内有垂直于平面ABCD的直线,则只要在平面DEG内找到该直线.若平面DEG中没有垂直于平面ABCD的直线,则必须在平面DEG内作出与平面ABCD垂直的直线.由(I)知,AD⊥BF,PD⊥BF,可证BF⊥平面PAD,从而可证,平面ABCD⊥平面PAD.又AD⊥PF,所以PF⊥平面ABCD,如图所示,联结FC交DE于点Q,过Q作QG∥PF交PC于G,点G即为所要找的点,再由平面几何知识和条件,可得
.
,所以,△ABC是正三角形.又
,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?并证明你的
思路2:根据思路1可知,FP,FD,FB两两垂直,从而建立空间直角坐标系,利用向量法求解.
方法点睛:以下是证明平面与平面垂直的方法.(1)几何法:证明平面与平面垂直,转化为证明一个平面经过另一平面的一条垂线.(2)向量法:通过建立适当的空间直角坐标系,利用向量的坐标运算进行求解.
在高考试题中,以立体几何为载体,综合考查学生的逻辑思维能力、空间想象能力.其中垂直关系的证明是高考重点考查对象,也是空间几何的难点.若图形比较复杂,可以将空间图形进行分解,找出关键的平面,特别是底面,画出它们的平面图形,分析每个图形的几何性质,从而降低思维难度,也能很好地突破难点. 4通过向量应用,解决空间角的计算问题,培养学生的数学运算能力
空间向量是用代数方法解决空间几何问题的重要方法,也有利于培养学生的数形结合思想,降低思维难度,提高解题效率,有效地实现了几何问题的代数化,这也是高等几何中的重要方法.
例4如图,已知多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F为CD的中点.
(I)求证:AF⊥平面CDE; (Ⅱ)求二面角CAB-E的大小.
思路探究:第(I)问要证明AF⊥平面CDE,只要证明AF垂直平面CDE内的两条相交直线,即证AF⊥DE,AF⊥CD.根据条件DE⊥平面ACD,得到AF⊥DE.因为AC=AD,F为CD中点,推得AF⊥CD.
第(Ⅱ)问利用向量方法解决空间角计算,要建立适当的坐标系,但已知条件没有直接给出两两垂直的三条直线,因此,在建立坐标系前必须证明两两垂直的三条直线.取CE的中点Q,联结FQ,因为F为CD的中点,
2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题24立体几何中的综合问题(解析版)
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