教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学二轮复习：三角函数专题Word版 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 9 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于的关系的推广应用：sin??cos?与sin?cos?(或sin2?) 1、由于故知道，必可推出，例如：(sin??cos?)2?sin2??cos2??2sin?cos??1?2sin?cos?(sin??cos?)sin?cos?(或sin2?) 例1 已知。 分析：由于 其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。??? 2(sin??cos?)?1?2sin?cos? 解：∵ 故：例2 若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2 n的关系为（ ）。 222?1m2?n?2m nA．m2=n B．m2= C． D．n分析：观察sin+cos与sincos的关系：?? 1?2sin?cos??(3211)??sin?cos??333 sincos= 而：tg??ctg??1?nsin?cos? m2?112??m2??1nn故：，选B。2 例3 已知：tg+ctg=4，则sin2的值为（ ）。??? 1111?? A． B． C． D．2244 11?4?sin?cos??4 分析：tg+ctg=??sin?cos? 故：。 答案选A。44例4 已知：tg+ctg=2，求??sin??cos? 分析：由上面例子已知，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已1?2?44知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg=sin??cos?????????sin?cos? sin2??2sin?cos??sin2??12 sin?cos??12，此题只要将化成含sincos的式子即可：sin4??cos4??? 4444解：=+2 sin2cos2-2 sin2cos2sin??cos?sin??cos????? =（sin2+cos2）- 2 sin2cos2???? =1-2 (sincos)2?? 2 / 9 12?()22 =1- =1?12 1 =2 通过以上例子，可以得出以下结论：由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出sin??cos???????sin??cos?sin??cos???sin??cos? 二、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：?? 例5 已知：tg=3，求的值。 分析：由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：cos；???? 解：由于tg=3????k???2?cos??0 sin?cos??3?cos?cos??tg??3?3?3?0sin?cos?2tg??12?3?12?? 故，原式=cos?cos? 例6 已知：ctg= -3，求sincos-cos2=????? 分析：由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg：22ctg??cos?cos?sin?sin?sin2??cos2??1?? 2sin?cos??cos2?sin??cos??1?sin?cos??cos??sin2??cos2? 解：例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设，0?x??2,0?y??2且sinxsiny?sin(?3?x)sin(?6?y) 求：的值分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于，故，在等式两边同除以，托出分母为底，得：sinx?0,siny?0sinxsinysinxsiny (ctgx?3)(ctgy?3)3 0?x??2,0?y??2 3 / 9 解：由已知等式两边同除以得：sinxsiny “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于，，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用，把作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。tg??三、关于形如：的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：acosx?bsinx 可以从公式中得到启示：式子与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含的式子，由于-1≤≤1，sinAcosx?cosAsinx?sin(A?x)acosx?bsinxacosx?bsinxsin(A?x)sin(A?x) sin?cos?ctg??cos?sin?sin2??cos2??1sin2??cos2? 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子： 3cosx?4sinx (aa2?b2)2?(ba2?b2sinA?)2?1 由于。aa2?b2cosA??1?sinAcosA??ba2?b2 故可设：，则，即：2222∴acosx?bsinx?a?b(sinAcosx?cosAsinx)?a?bsin(A?x) 无论取何值，-1≤sin(A±x)≤1，A?x 22?a2?b2≤≤a?bsin(A?x)a2?b2 a2?b2 22?a?bacosx?bsinx即：≤≤下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷） 2y?3cosx?sinxcosx 求：函数的最大值为（AAAA ） A． B． C． D．1?32 分析：，再想办法把变成含的式子：于是：y?3?cos2x?11?sin2x22 cos2x?2cos2x?1?cos2x?cos2x?12 由于这里：∴y?1?(a?3131,b?,则a2?b2?()2?()2?12222 313cos2x?sin2x)?222 4 / 9 sinA?3a31?2?,则cosA?122a2?b2 32 ?1?331?2y2 设：∴y?sinAcos2x?cosAsin2x?无论A-2x取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故≤≤1?32 ∴的最大值为，即答案选A。y例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷） 在△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sinα取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。3 分析：首先，由于，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜边，所对角∠C为直角，又由于，则∠B=BC?CA?1?(3)?4?AB90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为，且要列出有关为未知数的方程，对进行求解。观察△BDE，已知：∠B=60°，DE=，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于的方程。在图中，由于EC=·cosα，则BE=BC-EC=1-·cosα。lllllll 而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α? ∠B=60°，∠DEF=60° ∴在△BDE中，根据正弦定理： 3cos??sin?在这里，要使有最小值，必须分母：有最大值，观察：l23337cos??sin?,a?,b?1?a2?b2?()2?12?2222 372127cos??sin??(cos??sin?)2277∴ 22222sinA?BC1?,故A?30?AB2 设：，则sinA?2127cosA?77 37cos??sin??(sinAcos??cosAsin?)2故：2 37cos??sin?2 ∴的最大值为。2 5 / 9
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