关键词：基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式
均值不等式链
a?b?ab??基本不等式链：若a、b都是正数，则
112?ab2a2?b2，当且仅当a?b时等号成立。 222aba?ba2?b2 注：算术平均数---2；几何平均数---ab；调和平均数---11?a?b；平方平均数---2a?b证明1：（代数法）
（1）a?0，b?0?(a?b)2?0?a?b?2ab?a?b2?ab； （2）
a?b2?ab?0?212abab2a?b?ab?a?b?ab?11?ab； a?b222b2)?2ab?a2?b2?a2?b2(a?b)2a2 （3）a?b?2ab?2(a??b2a?b2?4?2?2； 综上，
2a2?b211?ab?a?b2?2，当且仅当a?b时“?”成立。 a?b证明2：（几何法）
G DD E AaBAaAa OCbOCbBOCbB
如图，AC?a，BC?b，AB?a?b，以AB为直径作圆O，则 图1：OD?a?b，DC?，DC?OD?2abab?a?b2； 图2：DC?ab，DE?DC22ab2OD?aba?b，DE?DC?a?b?ab； a?ba2?b2图3：OC?a?ba2?b22，GC?2，OG?GC?2?2； 综上，
2a?ba2?b21?ab??2，当且仅当a?b时“?”成立。 a?12b授之以鱼，不如授之以渔。
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界首一中 2011-01
证明3：（几何法）
作梯形ABCD，使AD//BC，?B?90?，AD?BC?CD，令AD?a，BC?b，(b?a)，E、F分别是AB、CD的中点，过E作EG?CD于G，过G作GH?AB于H，在EB上截取EN?则E、F分别是AB、CD的中点，?EF? ED平分?ADC?EG?EA?b?a，2b?a， 21AB?ab， 2DGaAD?CG?BC?DG2ab DG?DA，GC?BC?，即GH?， ??GH?GCba?ba?bb?aa2?b2 EN?， ?NF?222aba?ba2?b2 显然，GH?EG?EF?FN，∴ ?ab??a?b222aba?ba2?b2 当“a?b”时，。 ?ab??a?b22证明4：（几何法）
作梯形ABCD，使AD//BC，?B?90?，AD?BC?AB，令AD?a，BC?b，(b?a)， 在AB上截取AE?AD?a，AF?BC?b，则BE?b，BF?a
过E作EG?AB交CD于G，过F作FO?CD于O，过O作OH?AB于H， 在EH、GO上分别取点M、N，使梯形EGNM与梯形MNOH相似，
1a2?b2则AD?BF，AF?BC，?DF?CF?a?b?CO?DO?OF?CD?，
2222AD?BCa?b?22，
AD?BE?BC?AE2ab AE?a，BE?b?EG?， ?a?ba?bEGMN梯形EGNM与梯形MNOH相似???MN?EG?OH?ab
MNOHOC?OD?OH?2aba?ba2?b2 显然，EG?MN?OH?OF，∴ ?ab??a?b222aba?ba2?b2 当“a?b”时，。 ?ab??a?b22
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问题是思考的结果，是创造的开始。
高中数学必修5不等式中均值不等式链的几种证法
