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2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2．3.1矩阵乘法的概念
2．3.2矩阵乘法的简单性质
1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它课标解读 们． 2．会从几何变换的角度求MN的乘积矩阵． 3．通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.
1．矩阵的乘法
a11 a12?b11 b12???一般地，对于矩阵M＝??，N＝??，规定乘法法则如下： ?a21 a22??b21 b22?
?a11 a12??b11 b12?
MN＝????
?a21 a22??b21 b22??a11b11＋a12b21 a11b12＋a12b22?＝??. ?a21b11＋a22b21 a21b12＋a22b22?
2．矩阵乘法的几何意义
(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．
(2)矩阵乘法的几何意义：
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x??矩阵乘法MN的几何意义为：对向量α＝??连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复?y?合变换．
·
(3)当连续对向量实施n(n＞1且n∈N*)次变换TM时，对应地我们记Mn＝M·M·…·M. 3．矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律
对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设M、N、P均为二阶矩阵， 则一定有(MN)P＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律
设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.
1．矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？
【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法．
(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律．
2．矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？ 【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换．
3．矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？
高中数学
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【提示】 不一致；因为前一个对应着先TN后TM的两次几何变换，而后者对应着先TM后TN的两次几何变换.
1 ? (1)已知A＝??0
(2)已知A＝?
0?
矩阵的乘法运算 0?1?
0 ?
?，B＝?
?0 0?
?，计算AB.
?1
?0
0?
?0 －1??，B＝??，计算AB，BA. 2??1 0?
2
2
??? 1 1?
(3)已知A＝?，B＝??，计算A、B.
11??－1 －1??2 2?
【思路探究】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．
【自主解答】 (1)AB＝?
11 22
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苏教版数学高二- 选修4-2 教师用书 2.3变换的复合与矩阵的乘法
