www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台微分中值定理与导数的应用第3章一、选择题1．设[0，4]区间上y＝f（x）的导函数的图形如图3-1所示，则f（x）（A．在[0，2]单调上升且为凸的，在[2，4]单调下降且为凹的B．在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的C．在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凸的，在[2，4]是凹的D．在[0，2]单调上升且是凹的，在[2，4]单调下降且是凸的）。图3-1【答案】B【解析】当x∈（0，1）或x∈（3，4）时，f′（x）＜0，f（x）在[0，1]，[3，4]单调下降。当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，f（x）在[1，3]上单调上升，又f′（x）在[0，2]单调上升，得出f（x）在[0，2]上是凹的，f′（x）在[2，4]上单调下降，得出f（x）在[2，4]上是凸的。1/209www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台）。2．以下四个命题中，正确的是（A．若f′（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界B．若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界C．若f′（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界D．若f（x）在（0，1）内有界，则f′（x）在（0，1）内有界【答案】C【解析】方法1：举例否定错误的命题。A、B两项，f（x）＝1/x，f′（x）＝－1/x2，它们在（0，1）均连续且无界。D项，f（x）＝x在（0，1）有界，但f'(x)?
12x在（0，1）无界。方法2：应用拉格朗日中值定理。取定x0?x0∈（0，1），则由拉格朗日中值定理知，对?x??x∈（0，1），???ξ在x与x0x0之间使得f（x）－f（x0）＝f′（ξ）（x－x0）于是f（x）|≤|f（x0）|＋|f′（ξ）||x－x0|≤|f（x0）|＋M（x∈（0，1））其中|f′（x）|≤M（x∈（0，1）），因此f（x）在（0，1）有界。?x?cos3t???
0?t?3．由??所确定的函数y＝y（x）的图形在（0，1）内（3?2??y?sint?
A．单调下降且凸B．单调下降且凹C．单调上升且凸2/209）。www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台D．单调上升且凹【答案】B【解析】由题意得dyy??t?3sin2tcost????tant?02?dxx?t??3costsintd2yd?dy?dt112
??(?sect)?(?)??0??dx2dt?dx?dx3cos2tsint3cos4tsint其中t∈（0，π/2），故曲线单调下降且凹。4．设f（x）对一切x∈（－?，＋?）满足方程（x－1）f″（x）＋2（x－1）[f′（x）]3
＝1－e1－x且f（x）在x＝a（a≠1）处f′（a）＝0，则x＝a（A．是f（x）的极小值点B．是f（x）的极大值点C．不是f（x）的极值点D．是f（x）的拐点【答案】A【解析】因f′（a）＝0于是有（a－1）f″（a）＝1－e1－a，显然f″（a）＝（e1－a－1）/（1－a）＞0，所以，x＝a是极小值点。）。5．数列1,2,33,??,nn,?的最大项为（A．2B．33C．443/209）。www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台D．55【答案】B1
?lnxx?1?lnx?
【解析】设f(x)?x，x≥1，则f(x)??e??xx。2x??
1x?
令f′（x）＝0，得x0＝e，当l≤x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞e时f′（x）＜0，f（x）单调递减，因此x0＝e是f（x）的最大值点．在x＝e两侧的数列项是2与33。比较2与33的值：2?68?69?33．所以，数列最大项为33。注意：不能直接对f(n)?nn(n?1,2?)求导，因为数列没有导数概念。16．函数f(x)?xeA．2e?121?x24(???x???)的最大值为（）。B．e－1/4C．2e－1D．3e－9/4【答案】A【解析】f（x）为奇函数，f（x）＜0（x＜0），f（x）＞0（x＞0），只须在区间[0，＋∞）上分析f（x）的单调性。f(x)?e
?
1
?x24x2x212?11?144?xe?e22
??0,(0?x?2)?2?
?2?x???0,(x?2)????0,(x?2)1
?
故f（x）在[0，＋?）上的最大值为f(2)?2e2，同时它也是f（x）在（－?，＋?）上的最大值。4/209www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台7．设f（x）在[a，＋?）连续，又f（x）在[a，x0]单调上升，在[x0，＋?）单调下f(x)?l，则f（x）在[a，＋?）上相应的值域是（降，xlim???A。[f（a），f（x0）]B。[l，f（x0）]C．（l，f（x0）]D．以上均不对【答案】D）。【解析】由题意知，f（x）在[a，x0]单调上升，则f（a）≤f（x）≤f（x0）（a≤x≤x0），f(x)?l，则l＜f（x）≤f（x0）f（x）在[x0，＋?）单调下降且xlim（x0≤x≤＋∞）。???若f（a）≤l，则f（a）≤f（x）≤f（x0）（x∈[a，＋∞））。对?μ∈[f（a），f（x0）]，由连续函数介值定理，至少存在一点x*∈[a，x0]?[a，＋?），f（x*）＝μ，因此f（x）相应的值域是[f（a），f（x0）]。若f（a）＞l，则l＜f（x）＜f（x0）（x∈[a，＋∞））。对?μ∈（l，f（x0x0）]，由于x???
limf(x)?l???f?x0?则?x1＞x0，f（x1）＜μ＜f（x0），由连续函数介值定理，得?x*∈（x0，x1）?[a，＋?），f（x*）＝μ。因此f（x）相应的值域是（l，f（x0）]。综上所述，当f（a）≤l时，f（x）的值域是[f（a），f（x0）]，当f（a）＞l时，f（x）的值域是（l，f（x0）]。5/209
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