2016 ～ 2017 学年第 一 学期 《高等数学》
一、填空题（每小题3分，共15分）
?n?1??2e1、lim? ． ??n??n?1??2x32、曲线y?2的渐近线方程为 y?2x ．
x?1n3、y?x?x(x?1)(x?2) 有 2 个不可导点． 4、曲线y?lncosx(0?x??4)的弧长为 ln(2? 1 ) ．
5、x?0时，微分方程?y?x2ex?dx?xdy?0的通解为y? y?x(ex?C) ． 二、选择题（每小题3分，共15分）
1、设f(x) 在???,??? 内可导，且f(x)严格单调增加，则（ D ） (A) f?(x)?0 (B) f?(?x)?0 (C) f(?x)单增 (D) ?f(?x)单增 2、设f??(x)?f?2(x)?x,f?(0)?0 则（ C ）． (A) f(0)是f(x)的一个极大值 (B) f(0)是f(x)的一个极小值 (C) ?0,f(0)?是曲线y?f(x)的拐点
(D) f(0)不是f(x)的极值点，?0,f(0)? 也不是曲线y?f(x)的拐点 3、若f(x)的导函数是cosx，则f(x)有一个原函数为（ D ）． (A) x?sinx (B) x?cosx (C) x?sinx (D) x?cosx ??1dxdx4、设有反常积分I1??，I2??，则（ B ）．
0x(x?1)1x(x?1)(A) I1与I2都收敛 (B) I1收敛，I2发散 (C) I1与I2都发散 (D) I1发散，I2收敛
5、微分方程y???2y??3y?(x?1)ex的特解形式可设为（ B ）． (A) y*?(ax?b)ex (B) y*?x(ax?b)ex (C) y*?x2(ax?b)ex (D) y*?x3(ax?b)ex
三、计算题（每小题6分，共36分）
1?2xsin,x?0,?1、讨论函数f(x)?? 在x?0处的连续性、可导性． x?x?0?0,解 因为limf(x)?limx2sinx?0x?01?0?f(0) x 所以f(x)在x?0连续*-
1x2sinf(x)?f(0)1x?limxsin?因为 lim?limx?0x?0x?0xxx 所以 f(x)在x?0可导
?0f?(0)2、设y?y(x)是由方程x2?y?1?ey所确定的隐函数，求y??(0)． 解 方程两边同时对x求导，得到2x?所以
dy2x? dx1?eydydy?ey dxdxd2y?dx2d(dydy)2(1?ey)?2xeydx dx?y2(1?e)dxdydxx?0当 x?0时，解得y?0，?0
d2y所以 y??(0)?2dx
x?0?4?122
xx?[?1,0],?x,3、设f(x)?? 求F(x)??f(t)dt，x?[?1,1]的表达式．
?1cosx,x?(0,1],?解 当?1?x?0时，F(x)??f(t)dt??tdt??1?1xx121x?， 22x0 当0?x?1时，F(x)??f(t)dt??tdt??costdt?sinx??1?1x01， 2?121x?,?1?x?0?x?22所以F(x)??f(t)dt??
?1?sinx?1,0?x?1??24、求 limx?0?1?cosx50sint2dt6xx?56 .
sint2dtf(x)??lim05解 lim 6x?0x?0g(x)xx?561?cosx122(x)?xsin(1?cosx)2?sinx(1?cosx)2?x?lim ?lim?lim24?0 4545x?0x?0x?0x?x5x?xx?x所以当x?0时，按从低阶到高阶的顺序排列为：g(x),f(x) 5、求
?1arctanx(1?x)2320dx．
解 令x?tant则
?1arctanx(1?x)232?0dx??40?t2sectdt??4tcostdt 30sect?? ?tsint40??4sintdt?0?28?2?1 26、求微分方程y???4xy?满足初始条件y(1)?0,y?(1)?1的特解． 解 令y??p 则y???原方程化为： 得
dp dxdp?4xp dx222 即p?(x?C)p?x?C1 1把y?(1)?1代入上式得到：C1?0 所以
dy?x4 dx15x?C2 51把y(1)?0代人上式得到：C2??
51所以特解为：y?(x5?1)
5 原方程的通解是：y??x?x四、（本题满分12分）求y?e的单调区间、凹凸区间、极值点以及曲线y?e
22的拐点．
?x解 y???2xe， y????2e?x?4x2e?x?2(2x2?1)e?x
2222令y??0 解得x1?0，
令y???0解得x2??11， ,x3?22所以当x?0时，y??0，所以单调增区间是(??,0)， 当x?0时，y??0，所以单调减区间是(0,??)， 当x??1111或者x?时，y???0，所以凹区间是(??,?)(,??)， 2222 当?1111，y???0，所以凸区间是(??x?,)，
22221?1?11并且 x?0是极大值点，(?,e2)和(,e2)该曲线的拐点。
22五、（本题满分12分）设函数f(x)?x(x?1)，x?[0,1]与x轴所围成的平面区域
为D，求
(1)D的面积A； (2)D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V． 解 A???0?f(x)?dx??x(1?x)dx?00111 6V???f2(x)dx???x2(x?1)2dx?0011?30
六、（本题满分5分）设f(x)为连续函数，证明：
?并由此计算???0?0xf(sinx)dx??2??0f(sinx)dx，
xsinxdx．
2?sin2x0解 令x???t，则
?0xf(sinx)?xd???(t)f(st?in )(dt)??0 ??(??t)f(sitn )dt??(??x)f(sixn)dx0 ??f(sinx)dx??xf(sinx)dx0 ?0
???所以?xf(sinx)dx??f(sinx)dx
020???
??0xsinx??sinx???1dx?dx?dcosx
2?02?sin2x2?01?cos2x2?sin2x ??2(?arctancosx)0???24
七、（本题满分5分）设f(x)在[a, b]上有三阶导数，且f???(x)?M， 若M0(x0,f(x0))是曲线y?f(x)在(a, b)内的拐点，证明：
f??(a)?f??(b)?M（b?a）证1 因为f(x)在[a,b]上有三阶导数且M0(x0,f(x0))是曲线y?f(x)在(a,b)内的曲线拐点，
所以 f??(x0)?0
又因为 f??(x0)?f??(a)??f???(x)dx且f???(x)?M
ax0所以 f??(a)?f??(x0)?f??(a)?同理f??(b)?f??(b)?f??(x0)??bx0x0af???(x)dx??bx0x0af???(x)dx?M(x0?a)
?f???(x)dx??f???(x)dx?M(b?x0)
所以f??(a)?f??(b)?M(b?a)
证2 因为f(x)在[a,b]上有三阶导数且M0(x0,f(x0))是曲线y?f(x)在(a,b)内的曲线拐点，
所以 f??(x0)?0
又因为 f??(x0)?f??(a)?f???(?1)(x0?a)即 ?f??(a)?f???(?1)(x0?a)
,所以 f??(a)?f???(?1)(x0?a)?M(x0?a)
同理 f??(b)?f??(b)?f??(x0)?f???(?2)(b?x0)?M(b?x0)所以f??(a)?f??(b)?M(b?a)
2016-2017第一学期《高等数学》试卷a及答案
