最新全国高中数学联赛A卷（附答案）
一、填空题 1．设
、、
是集合，称
，且
集合由集合
中的元素个数），如集合
为有序三元组，如果集合，则称有序三元组，
，
、
、
满足
表示
为最小相交（其中
就是最小相交有序三元组，则
的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________
2．椭圆
3．已知空间四边形
的一个焦点是
中，对角线
,则___________.
，则空间四边形
中平行于
和
的截面四边形的周长的取值范围是____________
4．用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数有______个. 5．6．若7．
，则
在区间________
上为增函数,z则的最大值 .
__________．
8．从1、3、5、7、9这五个数字中任取三个数字，从0、2、4、6这四个数字中任取两个数字，可组成没有重复数字的五位偶数为_________个.
二、解答题 9．已知（1）写出（2）归纳
，
，
的值；
.
的值，并用数学归纳法加以证明.
满足
.证明：
.
10．给定正整数，等差数列
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11．如图，与
交于点
、、，
分别是与
交于点
的边、、、
上的点，且、
与交于点、、
、
.证明：
三线共点，当且仅当
三点共线.
12．在圆上有21个点.证明：以这些点为端点组成的所有弧中，不超过120°的弧不少于100条.
13．设正实数a、b、c满足，求a、b、c的值.
14．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作. （1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率； （2）求至少选1名医生的概率.
15．已知椭圆直线与椭圆相交于
两点，且
的两个焦点分别为
．
，过点的
（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）求直线
的斜率．
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参考答案
1．7680 2．10 3．4．4 5．
6．7．
8．2700 9．（1）10．见解析 11．见解析 12．见解析 13．
，
，
；（2）
，证明见解析.
14．（1）（2）.
15．（Ⅰ）
；（Ⅱ）．
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