第八节 离散型随机变量的均值与方差 正态分布
[最新考纲] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题. 3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.
‖知识梳理‖
1．均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 主要考查随机变量的极值与方差的求法，多在解答题中涉及，正态分布多为选择题、填空题，分值为5分. 1.数学建模 2.数学运算 [考情分析] [核心素养] 则称E(X)＝1x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的2平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝3aE(X)＋b． (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝4p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝5np． 2．方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝6
i＝1
? （xi－E（X））2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的7平均n
偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，并称其8算术平方根D（X）为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝9a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝10p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝11np(1－p)． 3．正态分布 (1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴12上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线13x＝μ对称； ③曲线在14x＝μ处达到峰值151； σ2π④曲线与x轴之间的面积为161；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“17瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“18矮胖”，表示总体的分布越19分散．
(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (6)若X～N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2. ‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)数学期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量．( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( ) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、走进教材 2．(选修2－3P68A1改编)已知X的分布列为 X P －1 1 20 1 31 1 6设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7A． 3C．－1 答案：A 3．(选修2－3P68练习2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________． 答案：0 4．(选修2－3P75B组T2)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X 4答案： 3三、易错自纠 1 4，?，并且η＝2ξ＋3，则方差D(η)＝( ) 5．已知ξ～B??3?32 A． 943C． 9 8B． 959D． 9B．4 D．1 181 1－?＝， 解析：选A 由题意知，D(ξ)＝4××?3?3?9832 ∵η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×＝. 99 6．一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一
2021届高三数学(理)复习学案-第八节-离散型随机变量的均值与方差-正态分布-含解析
