第一章 1.2 第2课时
一、选择题
2221．C22＋C3＋C4＋…＋C16等于( )
33
A．C215 B．C16 C．C17
D．C417
[答案] C
2223223223[解析] 原式＝C33＋C3＋C4＋…＋C16＝C4＋C4＋…＋C16＝C5＋C5＋…＋C16＝…＝C16
3
＋C216＝C17.
2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) A．70个 B．64个 C．58个
[答案] C
[解析] 四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个， ∴共有四面体C48－12＝58个．故选C.
3．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有( )
242412424A．(C126)A10个 B．A26A10个 C．(C26)10个 D．A2610个
D．52个
[答案] A
2
[解析] ∵前两位英文字母可以重复，∴有(C126)种排法，又∵后四位数字互不相同，124
∴有A410种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C26)A10个．
4．6人站成一排，若调换其中的三个人的位置，有多少种不同的换法( ) A．40 B．60 C．120
[答案] A
[解析] 先从6人中选取3人确定调换他们的位置，而这三人的位置全换只有2种不同方法，故共有2C36＝40种．故选A.
5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A．60种 B．63种 C．65种
[答案] D
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识.4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数C45，
24422四个偶数C4二奇二偶，C2分类讨论思想在排列组4，5C4.共有C5＋C4＋C5C4＝66种不同取法．
D．240
D．66种
合题目中应用广泛．
6．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
22622
A．C28A3 B．C8A6 C．C8A6
2
D．C28A5
[答案] C
[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C2第二步前排共有6个位置，先从8种抽取方法，中选取2个位置排上抽取的2人，有A26种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个
2位置上，只有1种安排方法，∴共有C28A6种排法．
7．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是( )
21233
A．C16C94 B．C6C99 C．C100－C94
3
D．A3100－A94
[答案] C
3
[解析] 从100件产品中抽取3件的取法数为C3100，其中全为正品的取法数为C94，∴3
共有不同取法为C3100－C94.故选C.
二、填空题
8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副B2
组长的选法种数为B，若＝，则这组学生共有________人．
A13
[答案] 15
2An2
[解析] 设有学生n人，则4＝，解之得n＝15.
Cn13
9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．
[答案] 42
13
[解析] 若甲在第一位有A44种方法；若甲在第二位有C3A3＝18种方法，故共有18＋24
＝42种方法． 三、解答题
10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：
(1)共有几种放法；
(2)恰有1个空盒，有几种放法； (3)恰有2个盒子不放球，有几种放法．
[解析] (1)由分步乘法计数原理可知，共有44＝256种放法．
(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三个，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步
3
乘法计数原理，共有C24A4＝144种不同的放法．
(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：
3种，再放到2个第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C4
3222盒子中有A24种放法，共有C4A4种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C4C4种放法，222故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A4＋C4C4＝84种.
一、选择题
1．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点的个数最多是( )
22224A．A412 B．A12A12 C．C12C12 D．C12
[答案] D
[解析] 圆周上每4个点组成一个四边形，其对角线在圆内有一个交点．∴交点最多为
4个．故选D. C12
2．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种 C．75种
[答案] C
[解析] 本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有C26＝15种选法，从5名女医生选1人有C15＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．
3．为促进城乡教育均衡发展，某学校将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加城乡交流活动，若每个小组由1名女教师和2名男教师组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．24种 C．9种
[答案] A
2·[解析] 不同的安排方案共有C1C1C4C22·1·2＝12种．
D．150种
D．8种
二、填空题
4．n个不同的球放入n个不同的盒子中，如果恰好有1个盒子是空的，则共有________种不同的方法．
n1
[答案] C2nAn
－
[解析] 有一个盒子中放2个球，先选出2球有C2然后将2个球视作一个整体，n种选法，连同其余的n－2个球共有n－1个，从n个不同盒子中选出n－1个，放入这n－1个不同的
12n1
球有Ann种放法，∴共有CnAn种．
－
－
5．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．
[答案] 15
1＋C1·12
[解析] C2C23·3C2＋C3＝15种．
三、解答题
6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．
(1)共有多少种不同的取法；
(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？
4[解析] (1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝C9＝126(种)；
(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中
14
任取1个红球共有C1C7＝70种取法． 2种取法，∴共有C2·
43
7．解方程：A2x＋1＝140Ax.
[解析] 根据原方程，x(x∈N＋)应满足
??2x＋1≥4，?解得x≥3. ?x≥3，?
根据排列数公式，原方程化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)， ∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，得 (2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)， 即4x2－35x＋69＝0，
23
解得x＝3或x＝(因x为整数，应舍去)．
4∴原方程的解为x＝3.
8．如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.
问：(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？ [解析] (1)可分三种情况处理：
①C1、C2、…、C6这六个点中任取三点可构成一个三角形．
②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形． ③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形．
3＋C1·22C＝116个． C66C4＋C6·14
其中以C1为顶点的三角形有
2＋C1·12C55C4＋C4＝36个；
(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线．
4＋C3·12C2＝360个. C66C6＋C6·6
高二数学 人教A版选修2-3 1.2 第2课时
