习题
习题设A是一个n阶下三角矩阵。证明：
（1）如果A的对角线元素aii?ajj(i,j?1,2,?,n)，则A必可对角化； （2）如果A的对角线元素a11?a22???ann，且A不是对角阵，则
A不可对角化。
证明：（1）因为A是一个n阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为|?E?A|?(??a11)(??a22)?(??ann)，又因aii?ajj(i,j?1,2,?,n)，所以A有
n个不同的特征值，即A有n个线性无关的特征向量，以这n个线性无
关的特征向量为列构成一个可逆阵P，则有P?1AP为对角阵，故A必可对角化。
??1??2（2）假设A可对角化，即存在对角阵B???????????，使得A??n??与B相似，进而A与B有相同的特征值?1,?2,?,?n。又因为矩阵A的特征多项式为|?E?A|?(??a11)n，所以?1??2????n?a11，从而
?a11?a22?B???????????a11E，于是对于任意非退化矩阵X，都有?ann??X?1BX?X?1a11EX?a11E?B，而A不是对角阵，必有X?1BX?B?A，与
假设矛盾，所以A不可对角化。
习题设n维线性空间V的线性变换?有s个不同的特征值
?1,?2,?,?s，Vi是?i的特征子空间(i?1,2,?,s)。证明：
（1）V1?V2???Vs是直和；
（2）?可对角化的充要条件是V?V1?V2???Vs。 证明：（1）取V1?V2???Vs的零向量0，写成分解式有
?1??2????s?0，其中?i?Vi，i?1,2,?,s。现用?,?2,?,?s?1分别作用分解式两边，可得
??1??2????s?0????????????0?1122ss。 ????????s?1s?1s?1??????????1122s?s?0?写成矩阵形式为
?1??1 (?1,?2,?,?s)????1??1??2??s?1??1?s?1?2??s??(0,0,?,0)。 ????1??ss??1??1由于?1,?2,?,?s是互不相同的，所以矩阵B?????1??1??2??s?1??1?s?1?2??s?的行列式不????1??ss?为零，即矩阵B是可逆的，进而有
(?1,?2,?,?s)BB?1?(0,0,?,0)B?1?(0,0,?,0)，(?1,?2,?,?s)?(0,0,?,0)。
这说明V1?V2???Vs的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得
V1?V2???Vs是直和。
i?1,2,?,s都是V的子空间，（2）(?)因Vi，所以有V?V1?V2???Vs。
又因?可对角化，所以?有n个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于V1?V2???Vs。对任意的??V，一定可由n个线性无关的特征向量线性表示，所以??V1?V2???Vs，即得
V?V1?V2???Vs成立，故有V?V1?V2???Vs。
?i1,?i2,?,?idi，所以分别取Vi(i?1,2,?,s)的基：(?)因V?V1?V2???Vs，
i?1,2,?,s，其中d1?d2???ds?n，进而得V12s的基：
?11,?12,?,?1d,?21,?22,?,?2d,?,?s1,?s2,?,?sd。又知基向量中的每一个向
量都是?的特征向量，故得?有n个线性无关的特征向量，所以?可对角化。
习题设D是n阶对角阵，它的特征多项式为
?D(?)?(???1)c1(???2)c2?(???s)cs，
其中?1,?2,?,?s两两不同。设
V?{B?Mn(F)|BD?DB}，
证明：V是Mn(F)的子空间，且
2dimV?c12?c2???cs2。
证明：对?A,B?V，即AD?DA，BD?DB，?k,l?F，有
(kA?lB)D?(kA)D?(lB)D?k(AD)?l(BD)?k(DA)?l(DB)?D(kA?lB)，
所以kA?lB?V，即V是Mn(F)的子空间。
??1Ec1??设D??????2Ec2????则由习题知与D可交换的矩阵只能?，??sEcs??B2????其中Bi为ci阶方阵，i?1,2,?,s。?，?Bs???B1?是准对角矩阵，即B???????B1?进而对?B??????B2??????V，都可由i行，j列元素为1，其余元素?Bs??全为零的n阶方阵
Eij(1?i,j?c1,c1?1?i,j?c1?c2,?,(?ck)?1?i,j??ck)线性表示。显然
k?1s?1k?1ss?1sEij(1?i,j?c1,c1?1?i,j?c1?c2,?,(?ck)?1?i,j??ck)线性无关，构成Vk?1k?12???cs2。 的一组基，所以dimV?c12?c2习题设A为准对角阵，
?A1??A?????A2?????， ?As??其中Ai是ni阶矩阵，它的最小多项式是mi(?)。证明：
mA(?)?[m1(?),m2(?),?,ms(?)]。
（即A的最小多项式是A1,A2,?,As的最小多项式的最低公倍式。） 证明：令m1(?),m2(?),?,ms(?)为对角线上诸块A1,A2,?,As的最小多项式，且h(?)?[m1(?),m2(?),?,ms(?)]。因mA(?)为A的最小多项式，则由
mA(A)?0可得mA(Ai)?0，i?1,2,?,s。又因Ai的最小多项式整除任何以Ai为根的多项式，所以mi(?)|mA(?)，i?1,2,?,s。从而h(?)|mA(?)。
又由于mi(?)|h(?)，i?1,2,?,s。而mi(Ai)?0，故h(Ai)?0。从而
?h(A1)?h(A)?????????0。 h(As)??于是又有mA(?)|h(?)。又因它们的首项系数都是1，故
mA(?)?h(?)?[m1(?),m2(?),?,ms(?)]。
习题求下列矩阵的最小多项式，并判断它是否可对角化：
?11??11?（1）A???????11??1??0??1??1A?； （2）??0?????11?n?n?101??010?。
101??010??解：（1）矩阵A的特征多项式为
??1|?E?A|??1??1?1??1???1?1??n?1(??n)。 ???1???1由命题知，矩阵A的最小多项式为?e(??n)，其中1?e?n?1。经计算
?11??11?得A(A?nE)???????11??1??1?n1???1??11?n?????????1?1???11??0??1??0????????1?n???00?0??0?0??0?。 ???0??故矩阵A的最小多项式为?(??n)，且无重根，所以A可对角化。
（2）矩阵A的特征多项式为
??10?1?1??10|?E?A|???2(??2)(??2)。
0?1??1?10?1?由命题知，矩阵A的最小多项式为?e(??2)(??2)，其中1?e?2。 经计算得
?0??1
A(A?2E)(A?2E)??
0??1?
?0??0?????0?101?
?
010?101?
?
010??0??0??。 ??0??01???21??1?210???01?21????101?2????2??1?0??1?101??210? ?121?012??0?0??0?故矩阵A的最小多项式为?(??2)(??2)，且无重根，所以A可对角化。
高等代数与解析几何第七章习题7答案
