利用勾股定理构建方程解题
我们都知道，在直角三角形的计算中，已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可．但如果只知道其中的一条边要求另两条边呢？此时，未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，设出一个未知数，便可以表示出两条未知的边；这时候再利用勾股定理列方程即能解决问题．这里通过下面的例子来说明勾股定理联手方程，在很多情况下是非常给力的． 一、解决实际问题
例1 如图1，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D处出发，一只向下爬到B处再走向池塘C，另一只向上爬到杆顶A处直接跳向池塘C，已知它们所经过的路程相同，且BC＝15m，求木杆AB的高度．
分析 本题既然是求直角三角形的边长，就可以考虑用勾股定理，但因为AC和AB两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通．好在“它们所经过的路程相同”，就可以设AD＝x，再用含x的代数式表示出AC，最后利用勾股定理就可列出方程．
解 设AD＝x， 则AC＝20－x， 由勾股定理，得
?20?x?2??x?5??152
2 解得x＝2．
所以木杆高度AB为7米，
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例2 一口井直径为1米，一根竹竿垂直伸入井底，竹竿高出井口米，如图2所示若把竹竿斜伸入井底，竹竿刚好与井口持平，那么井深多少米？竹竿长为多少米？
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分析 本题要抓住“竹竽无论是垂直插入还是斜插长度不变”这一关系，就能设出井深x米，竹竿长为(x＋)米．
解 设井深x米，则竹竿长为(x＋)米． 列出方程，有
13131??2x????x?1
3??24 345 答：井深米，竹竿长为米．
33解得x＝
二、解决折叠问题
例3 如图3，折叠长方形的一边AD，使D点落在边BC上的点F处，折痕为AE，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求CE的长．
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评注 本题有两个难点，一是折叠三角形之间对应边的转化；二是在Rt△CEF中用勾股定理时必须用方程思想．
例4 如图4，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将边AD沿折痕AE翻折，使D点落在对角线AC上的点F处，求CE的长．
解 ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10，DC＝6，AD＝8．
根据题意，AF＝8，CF＝2． 在△CEF中，设CE＝x，则
EF＝DE＝6－x．
故(6－x)2＋22＝x2． 解之得x＝
10． 3 评注 本题有两个关键，一是将BC转化为AD再转化为AF，从而求得CF；二是找到“边EF与CE的和为6”这个关系， 三、解决圆的计算问题
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中考数学复习指导：利用勾股定理构建方程解题
