x(t)?n????Fen?jnt?n?????nT?j1(1?e2)ejnt jnT1T1（2）a0??21dt?
T022Tsin(nT/2)an??2cos(nt)dt?
0TnT/22T2bn??2sin(nt)dt?[1?cos(nT/2)]
T0nTx(t)?a0??[ancos(nt)?bnsin(nt)]n?1?2?sin(nT/2)??0.5???cos(nt)?[1?cos(nT/2)]sin(nt)?nT/2nT?n?1?3.5、求题图3.5所示各周期信号的傅里叶系数Xn，并画出其频谱图。
1 x1(t) 2 … 3 4 (a)
题图3.5
解：（a）T?4,?0?1?
x2(t) … -2 -4 -1 0 1 … E -T 0 T (b)
… 2T t
?2
11?jn?0t1?jn2t1?jn2t1 Xn??e dt??edt??e?14?14?12jn???jn?jn11?1?(e2?e2)?2jsin(n)?Sa(n) ?2jn?2jn?222?? 频谱图如题图3.5-1所示。
Xn?3?21???203?2?2?13??
题图3.5-1
1EEE-jn?t?jn?t-jn?t（b）Xn???(t?T)e0dt??2?te0dt??e0dt
T0TT0T0TEtE?jn?0t?jn?0tT??2??dedt?e0T0jn?0jn?0TTTTEE1E?e?jn2??2?e?jn?0t(?)dt?(e?jn?0T?1)jn?0TT0jn?0jn?0TEE1e?jn2??2?e?jn?0t(?)dt ?jn?0TT0jn?0?EE?,n?0jn?0Tj2n?E2TT
n?0时，Xn? 频谱图如题图3.5-2所示
XnET2?2Xn?02?03?04?05?0?5?0?4?0??0?3?0?2?0?5?0?4?0??0?3?0?2?00?0?02?03?04?05?0???2（a）幅度谱
题图3.5-2
（b）相位谱
3.6 考虑信号x(t)?cos2?t，由于x(t)是周期的，其基波周期为1，因此它也是以N为
周期的，这里N为任意正整数。如果我们把它看作是周期为3的周期信号，那么x(t)的傅里叶级数的系数是什么？
解： 当x(t)的周期为1时，基频为2?，考虑周期为3时，则基频为为其三次谐波，所以：a0?0,an?0(n?3),a3?1,bn?0。
3.7 若x1(t)和x2(t)是基波周期为T的周期信号，它们的指数傅里叶级数表示式分别为：
2?，所以cos2?t3x1(t)?k?????dkejk?0t,x2(t)?k?????ekejk?0t,?0?2?。证明信号x(t)?x1(t)x2(t)也是基波周期T为T的周期信号，且其表示式为
x(t)??k?????ckejk?0t,?0?2? T式中，ck?m????dmk?me。
??证明：x(t)?x1(t)x2(t)?k??????dkejk?0tk????jk?0tee?k
?m???n?????deljm?0tekejn?0t?m???n?????deelk?j(m?n)?0t
令k?m?n，则
x(t)?m???k??????d??mk?meejk?0t?m???k?????de??km?kejk?0t
????jk?0t????dkem?k?e??ckejk?0tk????m???k????3.8 设周期信号x(t)的指数型傅里叶级数系数为Xn，试证明数为jn?0Xn（式中?0?证明: 由题知, x(t)=dx(t)的指数型傅里叶级数系dt2?）。 T2?） T?Xnej?0nt（式中?0?n 两边对t求导，得
dx(t)j?nt??Xnj?0ne0 dtn
显然，
dx(t)2?的指数傅里叶级数为 jn?0Xn（式中?0?）。 dtTx1(t) 1 0 3.9 求题图3.9所示各信号的傅里叶变换。
E t 0 x2(t) t T (b)
? (a)
题图3.9
解：根据傅里叶变换的定义
X1(?)??x1(t)e?j?tdt??e?j?tdt???0??1(1?e?j??)j?
?e?j??2ej??2?ej??j??2?2?e?j??2sin??2?TtX2(?)??x2(t)e?j?tdt??E(1?)e?j?tdt??0TTET?j?t?j?t?E?edt??tedt0T0
EEE?(1?e?j?T)?e?j?T?(1?e?j?T)2j?j?T?EE?j?T??(1?e)2j?T?3.10 计算下列每个信号的傅里叶变换。
?at（1）?ecos?0t???u(t),a?0； （2）e?3t?u(t?2)?u(t?3)?；
???2t（3）?tesin4t???u(t)； （4）sint?cos?2?t?tsin??sint?sin2td? （5）； （6）?????t2???
4?解: (1) 因为e?atu(t)?11?atj?0t?j?0t?at?ecos?tu(t)?eu(t)e?e，而?，根0??j??a2??据傅里叶变换的频移特性，有
111j?+a?at??ecos?tu(t)?(?）= 0?22?2j??a??0j??a+?0(j??a)??0(2)
????e?3t?u(t?2)?u(t?3)?e?j?tdt??e?(j??3)tdt??2312(j??3)?3(j??3)??e?e? j??3?
(3) 因为
e-2tu(t)?11?2t，所以teu(t)?，而 2j??2(j??2)sin(4t)??j??(??4)??(??4)，根据卷积乘积性质，得
j11118(j??2)?2t????? tesin4tu(t)2222??2j(j??4j?2)2j(j??4j?2)[(j??2)?16](4) 由于 sin(t)??j[?(??1)??(??1)]，
?22cos(2?t?)??(1?j)?(??2?)??(1?j)?(??2?)
422所以
??22sin(t)?cos(2??)?[?(??1)??(??1)]??(1?j)?(??2?)??(1?j)?(??2?)4j22 （5）x(t)?称性，有?Sa(sin(t)sin(2t)sin(t)sin(2t)sin(t)sin(2t),设，根据对?2x(t)?,x(t)?12t2t2tt2t)?2?G?(?)，所以X1(j?)??G2(?)，X2(j?)??t2?2G4(?)，因此
?0 ???3??????3? -3? ???1?22? X(j?)? X1(j?)*X2(j?)??? -1???12?????-??3? 1???3 ?2??0 ??3 （6） 由于 x(t)?sin(?t)?X(j?)?G2?(?),根据积分性质，有 ?t?tsin(??)????dt?1G2?(j?)???(?). j?3.11 先求出如题图3.11所示信号x(t)的频谱X(j?)的具体形式，再利用傅里叶变换的性质由X(j?)求出其余信号的频谱的具体形式。
连续时间信号与系统的频域分析
