11?F1(j?)e?j4? (b) F1(?j)e?j4? 2221??j2??j? (c) F1(?j?)e (d) F1(?j)e
22 (a) 答案：(d)
分析：根据傅里叶变换的尺度和时移性质即可得出正确答案。
先考虑尺度性质f1(?2t)?1?F1(?j)，再应用时移性质 221?f1(4?2t)?f1(?2(t?2))?F1(?j)e?j2?
22j4?也可先考虑时移性质f1(4?t)??F1(j?)e
?1??j421??F1(?j)e?j2? 再考虑尺度性质f1(4?2t)??F1(?j)e2222例6、连续周期信号f（t）的频谱F(j?)的特点是( ) (a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱； (c) 连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。 答案：(d)
例7、[f(t)cos200t]的傅里叶变换为 答案：
1?F[j(??200)]?F[j(??200)]? 2分析：该题为典型信号的调制形式
例8、[f(t??)cos?0t]的傅里叶变换为
1F[j(???0)]e?j(???0)??F[j(???0)]e?j(???0)?答案：2??
分析：根据时移和频移性质即可获得
例9、已知信号x(t)如图3.5.1所示，且其傅里叶变换为X(?)，试确定： (1) ?(?) (2) X(0) (3)
?????X(?)sin(2?)?ej2?d? 图3.5.1
?2 x(t)202t解：(1) 将x(t)向左平移一个单位得到x1(t)?x(t?1)，如图3.5.2所示。
由图形可以看出x1(t)是个实偶函数，对应的X1(?)?F [x1(t)]也是实偶函数。又因为x1(t)可以看成是两个同样的窗函数卷积得到，所以X1(?)是一个抽样函数的平方，是非负的，因此X1(?)得相位?1(?)?0。
根据傅里叶变换的时移特性可得
?(?)??1(?)?????
(2) X(0)?X(?)??0?[?x(t)e?j?tdt]??0??x(t)dt?????????4?2?4 2 (3) 令X2(?)?sin(2?)?，则对应的傅里叶反变换
x2(t)?所以
11G4(t)?[u(t?2)?u(t?2)] 22???????X(?)sin(2?)?ej2?d??[???X(?)X2(?)ej?td?]t?230?2?[x(t)?x2(t)]t?2???7?x(t)dt?2
3.6习题全解
3.1 证明函数集?cosn?0t,n?0,1,2,L?在区间?0,2? 证明: 对任意的自然数n,m(n?m)，有
?0?内是正交函数集。
?2??00cosn?0tcosm?0tdt??2??0011[cos(n?m)?0t+cos(n?m)?0t]dt?0 223.2 一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：
x(t)?10cos(800?t?)?7cos(1200?t?)?5cos(1600?t) 43（1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。
（2）x(t)是周期信号吗？如果是，周期是什么？（提示：按照最小公倍数计算） （3）现在考虑一个新的信号：y(t)?x(t)?5cos(1000?t????2)，请问，频谱如何变化？
y(t)是周期信号吗？如果是，周期是什么？
解：（1）频谱图如题图3.2所示。
X(j?)(10)(7)?(?) ?4 1600?1200?0800?1200?(?5)? 0800??
?3(a) 振幅图
题图3.2
（2）x(t)三项都是周期信号，周期分别为1/400、1/600、1/800，所以x(t)是周期信号，周期为为1/400、1/600、1/800的最小公倍数为1/200。
（3）根据频谱的分析y(t)比x(t)多了一个频谱分量，频率为1/500，所以y(t)还是周期信号，周期为1/200和1/500的最小公倍数1/100。 3.3 求下列每个信号的傅里叶级数表示式。 （1）ej200t(b) 相位图
； （2）cos???(t?1)?； ??4?（3）cos4t?sin8t；
（4）x(t)是周期为2的周期信号，且x(t)?e,（5）x(t)，如题图3.3所示，
?t?1?t?1；
题图3.3
（6）x(t)是周期为4的周期信号，且
?sin?t0?t?2 x(t)??02?t?4?（7）sint
2
解（1）该信号为虚指数信号，本身就是指数级数，频?0?200，周期T?级数为ej200t?cos(200t)?jsin(200t)；
（2）基频?0??100，三角
?4，周期T?8
三角级数：cos??(t?1)??2?cos??t??sin??t??
???????2??4??4??4????t?t?t?j?jj?j?4t?4442???t??t?2e?ej(e?e)???? 指数级数：cos?sin????????2?2?22?4????4??????t?tj?j22?(1?j)e4?(1?j)e4 44（3）本身为三角级数cos4t?sin8t，基频?0?4，周期T??2，指数级数为
ej4t?e?j4tj(e?j8t?ej8t)je?j8te?j4te?j4tjej8tcos4t?sin8t??????
222222（4）周期T=2；基频?0??
21?t(?1)n(e?e?1)11?te?e?1a0??edt??1.175，an??ecos(n?t)dt? 2?1?121?(n?)2221?t(e?e?1)n?(?1)nbn??esin(n?t)dt?
2?11?(n?)2三角级数：x(t)?1.175??[an?1?ncos(n?t)?bnsin(n?t)]
11?t?jn?te1?jn??e?(1?jn?)(?1)k(e1?e?1)Fn??eedt??
2?12(1?jn?)2(1?jn?)指数级数：x(t)?n????Fen?jnt(?1)k(e1?e?1)jn?t??e
2(1?jn?)n????（5）由题图3.3可知，周期T=2；基频?0??，且该信号为奇信号，所以a0?an?0，
bn?2?tsin(n?t)dt?012(?1)n?1。 n??22?(?1)n?1n?1(?1)sin(n?t)??sin(n?t) 三角级数：x(t)???n?1nn?1n?
Fn??11jbn?(?1)n?1 2n?指数级数：x(t)?n?????Fnejnt?1(?1)n?1ejn?t ?n???n??（6）周期T=4；基频?0??2
1212a0??sin(?t)dt?0，an??sin(?t)cos(n?t/2)dt?40204?,n为奇数?2?(4?n)，??0 n为偶数?bn?12sin(?t)sin(n?t/2)dt?0 ?021三角级数：x(t)????[ancos(n?t/2)
n?1??2jsin(n?/2)e?jn?/212?Fn??sin(?t)e?jn?t/2dt???(4?n2)40?0?指数级数： x(t)?2n??2n??2
n????Fen?jnt
1?cos(2t)11j2t??(e?e?j2t)
22411 三角级数：a0?,a2??，其他系数为0
2211j2t?j2t指数级数：x(t)=?(e?e)
24（7）sint?3.4 给定周期方波x(t)如题图3.4所示，求该信号的傅里叶级数（包括三角形式和指数形式）。
x(t)E?3T?2T?TT0T?22题图3.4
T2Tt
1解：（1）Fn?T?T20e?jntnT?j1dt?(1?e2)
jnT
连续时间信号与系统的频域分析
