【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由已知得到b=1，结合e=
，即a2=b2+c2求得a2=2，则椭圆方程可求；
y=kx+m与圆x2+y2=相切，（Ⅱ）（i）由直线l：可得
，即．联
立直线方程好椭圆方程，得到A，B横坐标的和与积，代入可得，得到OA⊥OB；（ii）直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，把A，B的坐标代入椭圆方程，可得
，
．在圆中由垂径定理可得
==
．结合x1x2+y1y2=0，得到．由x1 的
范围求得λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵2b=2，∴b=1．… 又e==∴a2=2．… ∴椭圆C的方程为
；…
，a2=b2+c2，
（Ⅱ）（i）∵直线l：y=kx+m与圆x2+y2=相切，
∴，即．…
由
，消去y并整理得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则
．…
∵=
．
=
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=，
∴OA⊥OB．…
（ii）∵直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B， ∴
，
．
∴==．…
由（Ⅱ）（i）知x1x2+y1y2=0， ∴x1x2=﹣y1y2，
，即
．
∴．…
∵
∴λ的取值范围是
，
．…
20．已知函数f（x）=ax3+x2﹣ax，其中a∈R且a≠0． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）求函数g（x）=
lnx的单调区间；
（Ⅲ）若存在a∈（﹣∞，﹣1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[﹣1，b]（b＞﹣1）在x=﹣1处取得最小值，试求b的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）当﹣1＜x≤b时，不等式可化为ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0，令F（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），通过讨论函数的单调性求出关于b的不等式，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3+x2﹣x， ∴f′（x）=（x+1）（3x﹣1）， 令f′（x）=0，得x=﹣1或x=， 列表讨论f′（x）和f（x）的变化情况：
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x
（﹣∞，﹣1）
（﹣1，
﹣1
）
（，+∞）
f′（x） + 0 0 ﹣
f（x） 递增 极大值 递减 极小值 ∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=1， 当x=时，f（x）取得极小值f（）=﹣（Ⅱ）∵g（x）=ax2+x﹣a﹣lnx， ∴g（x）的定义域为（0，+∞）， g′（x）=
（1）当a＞0时，
=
；
+
递增
，（a≠0）；
由g′（x）＞0，解得：x＞，由g′（x）＜0，解得：0＜x＜， ∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增； （2）当a＜0时，
由g′（x）＞0，解得0＜x＜﹣∴g（x）在（0，﹣
，由g′（x）＜0，解得：x＞﹣
，
）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．
（Ⅲ）∵f′（x）=3ax2+2x﹣a，
∴h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，
由题意知，h（x）≥h（﹣1）在区间[﹣1，b]上恒成立， 即（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）]≥0， 当x=﹣1时，不等式成立；
当﹣1＜x≤b时，不等式可化为ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0， 令F（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）， ∵a≤﹣1，F（﹣1）=﹣4a＞0，
∴F（b）=ab2+（2a+1）b+（1﹣3a）≥0， 即
≤﹣，
由题意，只需≤=1，
解得：≤b≤， ，
又b＞﹣1，∴﹣1＜b≤
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∴bmax=
．
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2020年9月15日
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2020年天津市河北区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
