挑战满分大题专练（二十七）—综合练习（13）
1．在正项数列{an}中，a1?1，a2?2，且（1）求{an}的通项公式； （2）求数列{解：（1）由
3}的前n项和Sn． an?an?1an?1?anan?an?1?(n2)． an?an?1an?1?anan?1?anan?an?1?(n2)，
an?an?1an?1?an222222可得an?1?an?an?an?1?an?1?an?2?..．
222?a3?a2?a2?a12?3，
2}是首项为1，公差为3的等差数列， 则数列{an2?1?3(n?1)?3n?2， 所以an由于an?0，可得an?3n?2； （2）
33??3n?1?3n?2，
an?an?13n?2?3n?1则前n项和Sn?4?1?7?4?10?7?...?3n?1?3n?2 ?3n?1?1．
2．如图，在?ABC中，AB?2，AC?3?1，D为线段BC上的点，且?BAD?30?，?CAD?45?．
（1）求?ABC的面积； （2）求CD的长．
解：（1）?ABC中，sin?BAC?sin(?BAD??CAD) ?sin(30??45?)
?sin30?cos45??cos30?sin45?
?2?6， 4所以?ABC的面积为 S?ABC?112?63AB?AC?sin?BAC??2?(3?1)???1； 2242（2）由S?ABC?S?ABD?S?ADC， 所以S?ABC???11AD?AB?sin?BAD?AD?AC?sin?DAC 221AD?[2sin30??(3?1)sin45?] 2163AD?(2?)??1， 222解得AD?2，
?ACD中，由余弦定理得，
CD2?AD2?AC2?2AD?AC?cos?CAD?2?(4?23)?2?2?(3?1)?2?4， 2所以CD?2．
3．四面体ABCD中，平面ABC?平面BCD，?ABC是边长为1的等边三角形，DC?BC，且DC长为3．设DC中点为M，B关于M的对称点为E，且F，G分别为CE，AD的中点．
（Ⅰ）证明：平面FGM?平面BCD； （Ⅱ）求四面体BGMF的体积．
解：（Ⅰ）证明：因为平面ABC?平面BCD，平面ABC?平面BCD?BC，CD?AB， 所以CD?平面ABC，
因为AC?平面ABC，BC?平面ABC，所以CD?AC，CD?BC， 又G，M分别为AD，CD的中点，所以GM//AC，
所以GM?CD， 同理可得MF?CD， 因为MFGM?M，所以CD?平面GMF，
因为CD?平面BCD， 所以平面BCD?平面FGM； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，MF//BC， 因为BC??平面GMF，MF?平面GMF，
所以BC//平面GMF，故B到平面GMF的距离即为C到平面GMF的距离． 13由（Ⅰ）可得CM?CD?，即为C到平面GMF的距离，
22取BD的中点N，则F，M，N三点共线，连接GN， MN?111111BC?，GN?AB?，GM?AC?， 2222223123?()?， 42163． 16所以S?GMN?因为M为FN的中点，所以S?GMF?S?GMN?11331??故VB?GMF?S?GMF?CM??．
3316232
4．某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如表： 品牌 价格使用寿（元、命（月件）) 甲 乙 ) 1000 7或8 400 3或4
挑战满分大题专练(二十七)—综合练习(13)-2021届高三高考数学三轮复习
