直线与圆知识点及经典例题（含答案）

圆的方程、直线和圆的位置关系

【知识要点】

一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程

(x?a)2?(y?b)2?r2 这个方程叫做圆的标准方程。 王新敞222x?y?ra?b?0说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了

圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程

王新敞22222222(x?a)?(y?b)?rx?y?2ax?2by?a?b?r?0。可见，任何一个将圆的标准方程,展开可得22x?y?Dx?Ey?F?0 圆的方程都可以写成 :

22x?y?Dx?Ey?F?0的方程的曲线是不是圆？ 问题：形如

将方程x?y?Dx?Ey?F?2222D2E2D2?E2?4F0左边配方得：(x?2)?(x?2)?2

22x?y?Dx?Ey?F?0表示以(?2,?2)为圆 D?E?4F（1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程

DED2?E2?4F2心，以为半径的圆。,

22x?y?Dx?Ey?F?0没有实数解，因而它不表示任何图形。 （3）当D?E?4F＜0时，方程

22圆的一般方程的定义：

22x?y?Dx?Ey?F?0称为圆的一般方程. 当D?E?4F＞0时，方程

22圆的一般方程的特点：

2（1）x和y的系数相同，不等于零；

2（2）没有xy这样的二次项。 （三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类

（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：

1

（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d

（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组

（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 （3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：

（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ>0时，直线与圆相交。 【典型例题】 类型一：圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y?0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系． 变式1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y?0平分的圆的标准方程.

变式2：求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y?0对称的圆的标准方程.

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r．∵圆心在y?0上，故b?0．∴圆的方程为(x?a)?y?r．

22??(1?a)?16?r2又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．∴? 解之得：a??1，r?20．

22??(3?a)?4?r222222所以所求圆的方程为(x?1)?y?20． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为kAB?224?2??1，故l1?3的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y?3?x?2即x?y?1?0．

又知圆心在直线y?0上，故圆心坐标为C(?1,0)∴半径r?AC?(1?1)?4?故所求圆的方程为(x?1)?y?20．又点P(2,4)到圆心C(?1,0)的距离为

222220．

d?PC?(2?1)2?42?25?r．∴点P在圆外．

例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。

解：设圆的方程为：x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，将三个点的坐标代入方程

?F?0??D?E?F?2?0?4D?2E?F?20?0?? F ＝ 0， D ＝ ?8， E ＝ 6 ? 圆方程为：x2 ＋ y2 ?8x ＋ 6y ＝ 0

配方：（ x ?4 ）2 ＋ （ y ＋ 3 ）2 ＝ 25 ?圆心：（ 4， ?3 ）， 半径r ＝ 5 例3 求经过点A(0,5)，且与直线x?2y?0和2x?y?0都相切的圆的方程．

分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．

2

解：∵圆和直线x?2y?0与2x?y?0相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线x?2y?0和2x?y?0的距离相等．∴

x?2y5?x?2y5．∴两直线交角的平分线方程是

x?3y?0或3x?y?0．又∵圆过点A(0,5)，∴圆心C只能在直线3x?y?0上．

设圆心C(t,3t)∵C到直线2x?y?0的距离等于AC，∴

2t?3t5?t2?(3t?5)2．

2化简整理得t?6t?5?0．解得：t?1或t?5∴圆心是(1,3)，半径为5或圆心是(5,15)，半径为55．

2222∴所求圆的方程为(x?1)?(y?3)?5或(x?5)?(y?15)?125．

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

4?与圆O相切的切线． 例4 已知圆O：x?y?4，求过点P?2，224?不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为y?k?x?2??4 解：∵点P?2，根据d?r∴

?2k?41?k2?2.解得k?33所以y??x?2??4即3x?4y?10?0 4，4，

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x?2．

说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用

x0x?y0y?r2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．

例5 两圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0与C2：x?y?D2x?E2y?F2?0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．

分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．

解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0)，则有：

2222x0?y0?D1x0?E1y0?F1?0 ① x0?y0?D2x0?E2y0?F2?0 ②

2222①－②得：(D1?D2)x0?(E1?E2)y0?F1?F2?0．

∵A、B的坐标满足方程(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0．

∴方程(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的．

∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0．

说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用

3

曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 例6、求过点M(3,1)，且与圆(x?1)?y?4相切的直线l的方程．

解：设切线方程为y?1?k(x?3)，即kx?y?3k?1?0，∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2， ∴22|k?3k?1|k2???1?233?2，解得k??， ∴切线方程为y?1??(x?3)，即3x?4y?13?0，

44当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x?3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x?3也适合题意。 所以，所求的直线l的方程是3x?4y?13?0或x?3． 类型三：弦长、弧问题

例7、求直线l:3x?y?6?0被圆C:x?y?2x?4y?0截得的弦AB的长.

22例8、直线3x?y?23?0截圆x?y?4得的劣弧所对的圆心角为

22解：依题意得，弦心距d?3，故弦长AB?2r?d圆心角为?AOB?222?2，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的

?32.

22例9、求两圆x?y?x?y?2?0和x?y?5的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

22例10、已知直线3x?y?23?0和圆x?y?4，判断此直线与已知圆的位置关系.

例11、若直线y?x?m与曲线y?解：∵曲线y?或m?22.

例12、圆(x?3)?(y?3)?9上到直线3x?4y?11?0的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆(x?3)?(y?3)?9的圆心为O1(3,3)，半径r?3．设圆心O1到直线

22224?x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.

∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是?2?m?24?x2表示半圆x2?y2?4(y?0)，

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3x?4y?11?0的距离为d，则d?3?3?4?3?113?422?2?3．如图，在圆心O1同侧，与直线3x?4y?11?0平

行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又r?d?3?2?1．∴与直线3x?4y?11?0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线3x?4y?11?0，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为

3x?4y?m?0，则d?m?113?422?1，∴m?11??5，即m??6，或m??16，也即

l1：3x?4y?6?0，或l2：3x?4y?16?0．

(x?3)?(y?3)?9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2， 设圆O1：则d1?223?3?4?3?63?422?3，d2?3?3?4?3?163?422?1．

∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个． 类型五：圆与圆的位置关系

例13、判断圆C1:x?y?2x?6y?26?0与圆C2:x?y?4x?2y?4?0的位置关系，

2222例14：圆x?y?2x?0和圆x?y?4y?0的公切线共有 条。

22222222解：∵圆(x?1)?y?1的圆心为O1(1,0)，半径r1?1，圆x?(y?2)?4的圆心为O2(0,?2)，半径r2?2，

∴O1O2?5,r1?r2?3,r2?r1?1.∵r2?r1?O1O2?r1?r2，∴两圆相交.共有2条公切线。 类型六：圆中的最值问题

例15：圆x?y?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是 22解：∵圆(x?2)?(y?2)?18的圆心为（2，2），半径r?32，∴圆心到直线的距离d?22102?52?r，∴

直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d?r)?(d?r)?2r?62.

(x?3)?(y?4)?1，P(x,y)为圆O上的动点，求d?x?y的最大、最小值． 例16 (1)已知圆O1：(x?2)?y?1，P(x,y)为圆上任一点．求(2)已知圆O2：222222y?2的最大、最小值，求x?2y的最大、最小值． x?15

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．

解：(1)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1．所以d1?32?42?1?6．d2?32?42?1?4．

所以dmax?36．dmin?16． (2)设

''y?2?k，则kx?y?k?2?0．由于P(x,y)是圆上点，当直x?13?33?3y?2．所以的最大值为，

44x?1线与圆有交点时，如图所示， 两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由d??2k?k?21?k2?1，得k?最小值为

3?3．令x?2y?t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最4大、最小值．由d??2?m5?1，得m??2?5．所以x?2y的最大值为?2?5，最小值为?2?5．

2222例17：已知A(?2,0)，B(2,0)，点P在圆(x?3)?(y?4)?4上运动，则PA?PB的最小值是 .

222解：设P(x,y)，则PA?PB?(x?2)2?y2?(x?2)2?y2?2(x2?y2)?8?2OP?8.设圆心为C(3,4)，则

2OPmin?OC?r?5?2?3，∴PA?PB的最小值为2?3?8?26.

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