圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第4章 导热问题的数值解法
一、简答题
1．试说明用热平衡法对节点建立温度离散方程的基本思想。
答：用热平衡法对节点建立温度离散方程的基本思想是用有限小元体代替微分分析中的无限小微元体，用傅里叶定律写出与周边元体的导热量，由净导热量与内热源量和内能增量之间的能量平衡关系得到节点方程。
2．推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描写，而由后者解出的却是近似解？
答：差分方程与微分方程的主要区别是前者用有限小量代替了后者的无限小量，前者用各离散点参数代替了后者的连续参数。实际上物体中的物理参数是时间和空间的连续函数，所以，微分方程是精确解，而差分方程是近似解。
3．用高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛的解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？
答：（1）高斯-赛德尔迭代法求解代数方程时不一定能得到收敛的解。
（2）不一定能得到收敛的解其原因不是因为初场的假设不合适，而是由于迭代方式不合适。
4．什么是显式格式？什么是显式格式计算中的稳定性问题？
答：（1）在非稳态导热的差分分析中，取温度对时间的向前差分，使后一时刻的温度
1 / 104
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 分布完全取决于前一时刻的温度分布，而不必联立方程求解。这样的差分格式称为显式格式。
（2）显式格式计算中的稳定性问题
在显式计算中，时间步长和空间步长的选择会影响求解过程的稳定性，选择得不适当会使温度产生震荡，而不收敛于某一数值，这是不符现实的。
5．非稳态导热采用显式格式计算时会出现不稳定性，试述不稳定性的物理含义。如何防止这种不稳定性？
答：（1）不稳定性的物理含义是指在显式格式离散方程中，后一时刻的温度取决于前一时刻的温度，同一节点温度前的系数有出现负值的可能性。如果出现负值，就意味着该点温度在前一时刻温度越高，则后一时刻温度将越低，甚至会出现比周围节点温度还要低的现象，这违背了热力学第二定律。
（2）为防止这种导致数值计算不稳定性的现象发生，要求空间网格Δx和时间网格Δr的选取必须满足一定的条件，从而使同一节点的离散系数不出现负值。
6．试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。
答：（1）基本思想：把在时间、空间上连续的温度场用有限个离散点温度的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些点温度值的代数方程，获得各离散点上的温度值。
（2）步骤
①按所求问题的几何形状、求解精度和稳定性条件划分差分网络； ②按物理条件和边界条件建立各节点差分方程，构成差分代数方程组； ③求解。
2 / 104
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 二、计算题
1．如图4-1所示，一个二维稳态导热物体，其导热系数?为常数，右侧平直边界面与环境同时发生对流与辐射换热，其表面发射率为?。环境可看作无限大空间，温度为T?、边界面的表面传热系数为h。试建立数值求解边界节点温度TM,n的离散方程。
图4-1
解：可采用热平衡法或有限差分法离散。以热平衡法为例
?e??w??n??s?0
其中
?e??(tM?1,n?tM,n)?y/?x
?n??(tM,n?1?tM,n)?x/2?y ?s??(tM,n?1?tM,n)?x/2?y
?w?h(t??tM,n)?y???[(t??273)4?(tM.n?273)4]?y
整理得到边界节点（M, n）的稳态导热离散方程
3 / 104
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ?y?x(??h?y??)tM.n????y[(tM,n?273)4?x?y?y?x4 ??tM?1,n?h?yt???(tM.n?1?tM,n?1)????y[(t??273)?x2?y
2．如图4-2所示为一扇形区域中的二维、稳态、无内热源的导热问题，其一侧平直表面维持均匀恒定温度tw , r?ri的表面绝热，其余表面与温度为t?的环境换热，表面传热系数为h，为用数值法确定区域中的温度分布，在径向和周向分别用定步长?r和??划分计算区域，节点布置如图所示。假定区域的物性参数已知且为常数，试用热平衡法建立节点1和7的离散方程（有限差分方程式）。（不要求整理）
图4-2
解：节点1和7所代表单元的热平衡式依次为 节点1
(ri?0.5?r)??/2?r/2?r?(t2?t1)??(t4?t1)?h(t??t1)?0 ri???r2节点7
4 / 104
圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 (ri?1.5?r)??/2?r/2?(t4?t7)??(t8?t7)?r(ri?2?r)???r(r?2?r)???h[?i](t??t7)?022
3．试将直角坐标中的常物性、无内热源的二维非稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性（条件）（解：微分方程
）。
?t?2t?2t?a(?2) ???x?y差分方程（显式）
(i?1)(i)tm?t,nm,n(i)(i)(i)tm?t?2t?1,nm?1,nm,n(i)(i)(i)tm?t?2t,n?1m,n?1m,n???a[(?x)2?(?y)2]
(i?1)(i)(i)(i)(i)tm?F(t?t)?F(t?t,noxm?1,nm?1,noym,n?1m,n?1)(i)
?[1?2(Fox?Foy)]tm,na??a??Fox? Foy?2(?x)(?y)2稳定性条件为：Fox
4．试用数值计算证实，对方程组
?Foy?12。
?x1?x2?2x3?1??x1?2x2?x3?3?2x?2x?x?5
23?1 5 / 104
传热学-章节题库-第4~7章【圣才出品】
