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微分学部分综合练习
一、单项选择题 1．函数y?xlg?x?1?的定义域是 D．x??1 且x?0
2．下列各函数对中，D．f(x)?sin2x?cos2x，g(x)?1 3．设f(x)?1x，则f(f(x))? C．x 4．下列函数中为奇函数的是 C．y?lnx?1x?1 5．已知f(x)?xtanx?1，当（ A ）时，f(x)为无穷小量.A.
6．当x???时，下列变量为无穷小量的是 D．
sinxx 7．函数?f(x)??sinx?x,x?0 在x = 0处连续，则k = （ C．1 ）
??k,x?08．曲线y?1x?1在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）．A．?12
9．曲线y?sinx在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x 10．设
，则
（ B ）． B．
11．下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ）．B．e x
12．设需求量q对价格p的函数为q(p)?3?2p，则需求弹性为Ep=（ B．
二、填空题
1．函数f(x)???x?2,?5?x?02?1,0?x?2的定义域是??5,2?
?x精彩文案
）． B
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2．函数f(x)?ln(x?5)?12?x的定义域是(-5, 2 )
3．若函数f(x?1)?x2?2x?5，则f(x)?x2?6
10x?10?x4．设f(x)?，则函数的图形关于Y轴对称．
2x?sinx?1 5．limx??x 6．已知 7. 曲线
sinxf(x)?1?，当 时，f(x)为无穷小量．x?0
xy?x在点(1,1)处的切线斜率是y?(1)?0.5
2y?3(x?1)8．函数的驻点是.x=1
9. 需求量q对价格的函数为q(p)?100?e三、计算题
?p2，则需求弹性为
p?．
2
1．已知ycosx?2?xx，求y?(x)
．解： y?(x)?(2x? 2．已知
cosx?xsinx?cosxxsinx?cosxx )??2xln2??2ln2?xx2x2f(x)?2xsinx?lnx，求f?(x) ．
1 x解 f?(x)?2xln2?sinx?2xcosx?x2y?cos2?sinx3．已知，求y?(x)．
解 y?(x)??sin2x(2x)??cosx2(x2)? ??2xsin2xln2?2xcosx2 4．已知
y?lnx?e23?5x，求y?(x) ．
解：y?(x)?3lnx(lnx)??e?5x3ln2x(?5x)? ??5e?5x
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y?55．已知
2cosxπ?y()； ，求
2解：因为 y??(52cosx)??52cosxln5(2cosx)???2sinx52cosxln5
ππ2cos 所以 y?()??2sin?52ln5??2ln5
22cos2xy?e?xx，求dy 6．设
π解：因为y??2ecos2x33(?sin2x)?x2 所以 dy?[2ecos2x(?sin2x)?x2]dx
2211sinx5y?e?cosx，求dy． 7．设
解：因为 y??esinx(sinx)??5cos4x(cosx)? ?esinxcosx?5cos4xsinx 所以 dy?(esinxcosx?5cos4xsinx)dx
3?xy?tanx?2 8．设，求dy．
3x213?x?2?xln2 解：因为 y??(x)??2ln2(?x)? ?2323cosxcosx3x2?x?2ln2)dx 所以 dy?(23cosx四、应用题
1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：
C(x)?100?0.25x2?6x（万元）,
求：（1）当x?10时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量x为多少时，平均成本最小？
解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
C(x)?100?0.25x2?6x C(x)?100?0.25x?6，C?(x)?0.5x?6 x精彩文案
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所以，C(10)?100?0.25?102?6?10?185 C(10)?100?0.25?10?6?18.5， C?(10)?0.5?10?6?11 10?100 （2）令 C(x)??2?0.25?0，得x?20（x??20舍去）
x 因为x?20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x?20
时，平均成本最小.
2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q?1000?10p（为需求量，为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
解 （1）成本函数 因为
所以 收入函数（2）利润函数2000
且 令点．
=(40--2000=40- 0.2
在其定义域内的唯一驻
= 60+2000． ，即==
=(- =
， )=
．
-(60+2000) = 40--
= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是
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所以，= 200是利润函数
的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．
3．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) =
20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：
（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？
解 （1）由已知R?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2
利润函数L?R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2 则L??10?0.04q，令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250.
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为
L(250)?10?250?20?0.02?2502?2500?20?1250?1230（元）
4．某厂每天生产某种产品件的成本函数为
C(q)?0.5q2?36q?9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为
多少？此时，每件产品平均成本为多少？
解 因为 C(q)?C(q)9800?0.5q?36? (q?0) qqqq C?(q)?(0.5q?36?9800)??0.5?9800 2 令C?(q)?0，即0.5?=140是
9800=0，得q2=140，= -140（舍去）.
在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
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《经济数学的基础12》
