[变式训练1－1] 如图所示，x-t图像反映了甲、乙两车在同一条直道上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则( )
A．甲车的加速度大小为4.0 m/s2 B．乙车的加速度大小为1.6 m/s2 C．5 s时两车速度相等 D．乙车的初位置在x0＝75 m处 答案 B
解析 位移—时间图像的斜率等于速度，可知甲车做匀速运动，加速度为零，A错误；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10 s处，则t＝10 s时，速1
度为零，将其0～10 s的运动逆向看成初速度为0的匀加速直线运动，则s＝2at2，11
根据图像有：x0＝2a·(10 s)2,20 m＝2a·(5 s)2，解得a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，B正确，
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D错误；5 s时，v甲＝5 m/s＝4 m/s，v乙＝at＝8 m/s，C错误。
[变式训练1－2] 一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度的平方v2和位移x的关系图像中，能描述该过程的是( )
答案 B
解析 汽车做初速度为零的匀加速直线运动时，由v2＝2ax可知，v2与x成正比，即这段时间内的v2和位移x的关系图像为过原点的一条倾斜直线，设匀加
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速直线运动的末速度为v1，位移为x1，则在做匀减速直线运动过程中，v2－v1＝
2a′(x－x1)，B正确，A、C、D错误。
课题任务
追及相遇问题
1．什么是追及相遇问题？
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。需要注意只要后面物体的速度有可能大于前面物体的速度都可以谈追及问题。
2．追及相遇问题情况概述 (1)追及问题
①若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
②若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近。 (2)相遇问题
①同向运动的两物体的追及即相遇。
②相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
3．常见的三种追及相遇情况
(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
肯定能追上，且只能相遇一次。两者在追上前相距最远的条件是v加＝v匀。 (2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的临界条件。
③若当两者到达同一位置时v减>v匀，则有两次相遇的机会。 (3)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体。
①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能相遇一次。 ③若当两者到达同一位置时v加 (1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图或v-t图像，找到临界状态和临界条件。 (2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。 (3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键。 (4)联立方程求解，并对结果进行简单分析。 5．追及问题中的“一个条件”“两个关系” (1)一个条件：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，以及是否恰好追上等。 (2)两个关系：时间关系和位移关系。 时间关系指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后运动；位移关系指两物体是同地开始运动还是一前一后开始运动，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，运动示意图对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处。 判断同向运动两物体是否相撞与判断同向运动两 物体能否追及相遇的方法相同。 例2 一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前，经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ (2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？ [规范解答] (1)解法一(物理分析法)：汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有 v汽＝v自＝at1 v自 所以t1＝a＝2 s 1 Δx＝x自－x汽＝v自t1－2at21＝6 m。 解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前，经过时间t两车相距Δx，则Δx1＝x自－x汽＝v自t－2at2 3 代入已知数据得Δx＝6t－2t2 由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。 所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，此时距离为Δx＝6 m。 解法三(图像法)：自行车和汽车的v-t图像如图所示，由图像可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有 v26 t1＝a＝3 s＝2 s v2t16×2 Δx＝2＝2 m＝6 m。 (2)解法一(物理分析法)：当两车位移相同时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2， 12 则有v自t2＝at2 2 2v自2×6 解得t2＝a＝3 s＝4 s 此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。 解法二(图像法)：由前面画出的v-t图像可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相同，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。 [完美答案] (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s 求解追及和相遇问题的两点技巧 1．掌握“三种分析方法” (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出两物体运动关系的示意图。
高中物理新教材专题复习《运动图像与追及相遇问题》导学案
