课时作业31 数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C ) A．{－1} C．{1，－1}
B．{1} D．?
解析：因为A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}， B＝{1，－1}，所以A∩B＝{－1,1}．
2．(2019·北京卷)已知复数z＝2＋i，则z·z＝( D ) A．3 C．3
B．5 D．5
解析：∵z＝2＋i，∴z＝2－i，z·z＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D． 3．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝A．2 C．2
3－i
?3－i??1－2i?
3－i
，则|z|＝( C ) 1＋2i
B．3 D．1
1－7i
解析：解法1：＝＝，
51＋2i?1＋2i??1－2i?故|z|＝?
?1－7i?50
?＝5＝2.故选C． ?5?
?3－i?|3－i|10
解法2：|z|＝?＝＝2. ?＝51＋2i|1＋2i|??
a＋i
4．(2020·南昌模拟)已知复数z＝(a∈R)的实部等于虚部，则a＝( C )
2i1A．－
2C．－1
a＋i1a
解析：由题意得，z＝＝－i，
2i221a
所以＝－ ，所以a＝－1，故选C．
22
m＋i5．(2020·长沙市统考)在复平面内，复数对应的点位于第一象限，则实数m的取值
m－i范围是( D )
1B． 2D．1
A．(－∞，－1) C．(0，＋∞)
m＋i?m＋i?2
解析：因为复数＝
m－i?m－i??m＋i?m2－12m
＝2＋2i对应的点位于第一象限， m＋1m＋1m－1?
?m＋1>0，所以?
2m
>0，?m＋1?
222
B．(－∞，0) D．(1，＋∞)
解得m>1，故选D．
6．(2020·江西八校联考)已知复数z满足(z＋i)i＝2－3i，则|z|＝( B ) A．10 C．10
B．32 D．18
3－3i
解析：解法1：∵(z＋i)i＝2－3i，∴zi－1＝2－3i，∴zi＝3－3i，∴z＝＝－3－3i，∴
i|z|＝32，故选B．
解法2：∵(z＋i)i＝2－3i，∴zi－1＝2－3i，∴zi＝3－3i， ∴|zi|＝|z|＝|3－3i|＝32，故选B．
1＋2z
7．(2020·武汉调研)设复数z满足＝i，则z＝( C )
1－z13A．＋i
5513C．－＋i
55
13B．－i
5513D．－－i
55
1＋2zi－1?i－1??2－i?13
解析：因为＝i，所以1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i，故选C．
5551－z2＋i8．(2020·河北衡水联考)已知i为虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若zi＝1＋i，则a＋b的值为( A )
A．0 C．2
B．1 D．3
1＋i?1＋i?i－1＋i
解析：∵zi＝1＋i，∴z＝＝＝＝1－i，又z＝a＋bi，∴a＝1，b＝－1，∴
ii×i－1a＋b＝0.故选A．
1?1－i?2 018
9．(2020·江西五校联考)已知i是虚数单位，若z＋＝?，则|z|＝( B )
i?1＋i??A．1
B．2 C．2 D．5
?1－i?1－i?1－i?2－2i1－i
解析：＝＝－i，＝＝＝－i，所以??2 018＝(－i)2 018＝i2 018
ii?－i?21＋i1＋i?1＋i??1－i?
?
?
＝i504
×4＋2
1?1－i?2 018＝i2＝－1，所以由z＋＝??，得z－i＝－1，z＝－1＋i，所以|z|＝2，故i1＋i
??
选B．
10．已知复数z＝|(3－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( A ) A．2－i C．4－i
解析：由题意知z＝|3i＋1|＋i＝B．2＋i D．4＋i
12＋?3?2＋i＝2＋i，则z＝2－i.
11．若(1－mi)(m＋i)<0，其中i为虚数单位，则m的值为( A ) A．－1 C．－3
B．－2 D．－4
解析：∵(1－mi)(m＋i)＝2m＋(1－m2)i，由(1－mi)(m＋i)<0，得－1，故选A．
2i12．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 015＝( D )
1－iA．1＋i C．i
B．1－i D．0
??2m<0，
解得m＝?
2
??1－m＝0，
2i?1＋i?1×?1－z2i22 015
解析：z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z＋…＋z＝
21－i1－z1－i4
×504
2 016?
＝
1－i2 0161－i
＝
1－i
＝0.
二、填空题
13．(2019·江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2.
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，∵实部是0，∴a－2＝0，a＝2. 1214．(2019·浙江卷)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝. 21＋i1－i1i1
解析：解法1：z＝＝＝－，
2221＋i所以|z|＝
?1?2＋?－1?2＝2. ?2??2?2
?1?112
解法2：|z|＝?＝＝＝. ?2?1＋i?|1＋i|12＋12
15．(2019·天津卷)i是虚数单位，则?
?5－i?的值为13. ??1＋i?
5－i?5－i??1－i?4－6i
解析：解法1：＝＝＝2－3i，
21＋i?1＋i??1－i?
?5－i?
故??＝4＋9＝13.
1＋i???5－i?|5－i|解法2：?＝?＝
1＋i??|1＋i|
25＋126
＝＝13.
21＋1
16．已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为25. 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
22????a－b＝12，?a＝4，?a＝－4，
则?解得?或?
2ab＝16，b＝2b＝－2，??????
则|z|＝a2＋b2＝16＋4＝25.
11π17．“复数z＝－(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“θ＝＋2kπ(k∈Z)”的
6sinθ＋cosθ·i2( B )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1?sinθ－＝0，?1?11?2
解析：z＝－＝sinθ－2?－cosθ·i，若z为纯虚数，则?即θ
sinθ＋cosθ·i2???cosθ≠0，π511
＝2kπ＋(k∈Z)或θ＝2kπ＋π(k∈Z)，结合题意可知“复数z＝－(其中i是虚数
66sinθ＋cosθ·i2π
单位)是纯虚数”是“θ＝＋2kπ(k∈Z)”的必要不充分条件，故选B．
6
y
18．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则的最大值为3. x解析：∵|z－2|＝
?x－2?2＋y2＝3，
∴(x－2)2＋y2＝3，它表示的是以(2,0)为圆心，3为半径的圆．
y?y3
的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率，由右图易知?＝3. max＝?x?x1
2021届高考数学一轮总复习课时作业31数系的扩充与复数的引入含解析苏教版
