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第十六章 含参量积分
关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力
学中常遇到的椭圆积分：??/201?k2sin2tdt，从形式可以看出，
积分变量为t，积分过程结果依赖于k，此时k称为积分过程中的参量。显然，若将k视为一个变元，记f(t,k)?1?k2sin2t为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。
§1含参变量的常义积分
只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设f(x,y)在D?[a,b]?[c,d]，此时f(x,y0)是为关于x的一元连续函数，因而可积。考虑其积分?f(x,y0)dx，显然其与y0有关，
ab记为I(y0)??f(x,y0)dx，更一般，引入
abI(y)??f(x,y)dx，
ab称其为含参变量y的积分。
注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量积分的分析性质。
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定理1：（连续性）设f(x,y)?C(D)，则I(y)?C[c,d]。 分析：在不能利用连续函数的性质得到连续性的情况下，需利用定义证明函数的连续性，这是处理这类问题的一般方法。
证明：任取y0?[c,d]，取?y，使y0??y?[c,d]，只须证：
?y?0limI(y0??y)?I(y0)。
事实上，由于：
I(y0??y)?I(y0)??|f(x,y0??y)?f(x,y0)|dx
ab（要使I(y0??y)?I(y0)?0，只须f(x,y0??y)?f(x,y0)充分小，形式上看：只须利用f(x,y)在y0点的连续性，但实际不仅如此，更要用到一致连续性。因为，仅仅利用f(x,y)在y0点或（x,
y0）的连续性，对任意的?，得到的???(?,x,y0)不仅与?,y0有
关，还与x?[a,b]有关，因而，不能保证在整个积分区间[a,b]上都有f(x,y0??y)?f(x,y0)??；同时，在证明I(y)在y0点的连
??,y0)。续性时，只允许?＝（）
由于f(x,y)?C(D)，因而，f(x,y)在D上一致连续，故，对任
意
的
?>0，存在???(?)，使得当
(x?,y?)、(x??,y??)?D且|x??x?|??,|y??y?|??时，成立
?,?y?) |f(x因而，当|?y|??时，成立
f?(x??,y?)|，
b?a? f(x,y0??y)?f(x,y0)?精品文档
?b?a，
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故，
I(y0??y)?I(y0)??|f(x,y0??y)?f(x,y0)|dx??
ab所以，I(y)在y0点的连续性，由y0的任意性得，I(y)?C[c,d]。
注：结论表明：极限和积分运算可以换序：
y?y0abbblim?f(x,y)dx??f(x,y0)dx??limf(x,y)dx。
aay?y0定理2：（可微性）设f(x,y)?C(D)，fy(x,y)?C(D)，则
I(y)?C?[c,d]且
bdI(y)??fy(x,y)dx， ady即微分与积分运算可以换序。
分析：证明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定义验证即可。
证明：任取y0?[c,d]，及?y，使y0??y?[c,d]，由中值定理，
I(y0+Dy)-I(y0)=Dyòabaf(x,y0+Dy)-f(x,y0)dx
Dy=òbfy(x,y0+qDy)dx，
其中，??[0,1]。由定理1，则
bI(y0??y)?I(y0)?lim?fy(x,y0???y)dx
?y?0?y?0a?ylim?x?fy(x,y0)dx。 ??limfyx(0y,???y)daa?y?0bb更进一步讨论变限的含参量积分，记F(y)??b(y)a(y)f(x,y)dx。
定理3：若f(x,y)?C(D)，a(y),b(y)?C[c,d]，且
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(整理)第16章含参量积分.
