→
CD.
→→→→→
2．化简：AB－AC＋BD－CD＋AD＝________．
→→→→→→→→→
解析：原式＝CB＋BD＋DC＋AD＝CD＋DC＋AD＝0＋AD＝AD. →
答案：AD
→→
3．已知→AB＝10，|AC|＝7，则|CB|的取值范围为______． →→→解析：因为CB＝AB－AC， →→→所以|CB|＝|AB－AC|.
→→→→→又|→AB|－|AC|≤|AB－AC|≤|AB|＋|AC|， →→
3≤|AB－AC|≤17， →
所以3≤|CB|≤17. 答案：[3，17]
→→→→→→
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，试判断△ABC的形状．
→→→→→→→→→→→
解：因为OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC. →→→→→→又|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，
→→→→所以|AB＋AC|＝|AB－AC|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
||
||
[A 基础达标]
→→→
1．在三角形ABC中，BA＝a，CA＝b，则CB＝( ) A．a－b C．a＋b
B．b－a D．－a－b
→→→→→
解析：选B.CB＝CA＋AB＝CA＋(－BA)＝b－a.
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) →→→→→→A.EF＝OF＋OE B.EF＝OF－OE →→→→→→C.EF＝－OF＋OE D.EF＝－OF－OE
→→→→→→→→→
解析：选B.EF＝EO＋OF＝OF－OE＝EO－FO＝－OE－FO.故选B.
→→→→
3．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝( )
A．a－b＋c C．a＋b＋c
→→→→
解析：选A.DC＝DA＋AB＋BC＝a－b＋c. 4．给出下列各式： →→→
①AB＋CA＋BC； →→→→②AB－CD＋BD－AC； →→→
③AD－OD－AO； →→→→④NQ－MP＋QP＋MN.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A．4 C．2
→→→→→
解析：选A.①AB＋CA＋BC＝AC＋CA＝0；
→→→→→→→→→→
②AB－CD＋BD－AC＝AB＋BD－(AC＋CD)＝AD－AD＝0； →→→→→→→→
③AD－OD－AO＝AD＋DO＋OA＝AO＋OA＝0； →→→→→→→→→→
④NQ－MP＋QP＋MN＝NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0. 5．对于菱形ABCD，给出下列各式：
→→→→→→→→→→→→①AB＝BC；②|AB|＝|BC|；③|AB－CD|＝|AD＋BC|；④|AD＋CD|＝|CD－CB|. 其中正确的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4 B．3 D．1 B．b－(a＋c) D．b－a＋c
→→
解析：选C.由菱形的图形，可知向量AB与BC的方向是不同的，但它们的模是相等的，所→→→→→→→→→→
以②正确，①错误；因为|AB－CD|＝|AB＋DC|＝2|AB|，|AD＋BC|＝2|BC|，且|AB|＝|BC|，→→→→→→→→→→→→→所以|AB－CD|＝|AD＋BC|，即③正确；因为|AD＋CD|＝|BC＋CD|＝|BD|，|CD－CB|＝|CD＋BC→
|＝|BD|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
→→→→
7．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________．(用a，b表示)
→→→→→→→→→
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
答案：b－a －a－b 8．给出下列命题：
→→→→→→①若OD＋OE＝OM，则OM－OE＝OD； →→→→→→②若OD＋OE＝OM，则OM＋DO＝OE； →→→→→→③若OD＋OE＝OM，则OD－EO＝OM； →→→→→→④若OD＋OE＝OM，则DO＋EO＝MO. 其中正确命题的序号为________． →→→
解析：①因为OD＋OE＝OM， →→→
所以OD＝OM－OE，正确；
→→→→→→
②因为OM－OD＝OE，所以OM＋DO＝OE，正确； →→→→→
③因为OE＝－EO，所以OD－EO＝OM，正确； →→→→→→
④因为－OM＝－OD－OE，所以MO＝DO＋EO，正确． 答案：①②③④
→→→→→
9.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a，b，c，d，
f表示以下向量：
→→(1)AC；(2)AD； →→→→(3)AD－AB；(4)AB＋CF； →→(5)BF－BD.
→→→
解：(1)AC＝OC－OA＝c－a. →→→→→
(2)AD＝AO＋OD＝OD－OA＝d－a. →→→→→
(3)AD－AB＝BD＝OD－OB＝d－b.
→→→→→→
(4)AB＋CF＝OB－OA＋OF－OC＝b－a＋f－c. →→→→→→→→
(5)BF－BD＝OF－OB－(OD－OB)＝OF－OD＝f－d. →→
10．如图所示，?ABCD中，AB＝a，AD＝b.
→→
(1)用a，b表示AC，DB；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？ →→→→→→
解：(1)AC＝AD＋AB＝b＋a，DB＝AB－AD＝a－b. →→
(2)由(1)知a＋b＝AC，a－b＝DB. 因为a＋b与a－b所在直线垂直，
所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD为菱形， 所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
[B 能力提升]
11．给出下面四个结论：
→→→
①若线段AC＝AB＋BC，则向量AC＝AB＋BC； →→→
②若向量AC＝AB＋BC，则线段AC＝AB＋BC； →→
③若向量AB与BC共线，则线段AC＝AB＋BC； →→→→
④若向量AB与BC反向共线，则|AB－BC|＝AB＋BC. 其中正确的结论有________．
→→→
解析：①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则AC＝AB＋BC，正确． →→→
②三角形内AC＝AB＋BC，但AC≠AB＋BC，错误．
→→→→→→→
③AB，BC反向共线时，|AC|＝|AB＋BC|≠|AB|＋|BC|，也即AC≠AB＋BC，错误． →→→→→→
④AB，BC反向共线时，|AB－BC|＝|AB＋(－BC)|＝AB＋BC，正确． 答案：①④
→→→
12．已知|OA|＝a，|OB|＝b(a>b)，|AB|的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为______． →→→→→→→
解析：因为a－b＝||OA|－|OB||≤|OA－OB|＝|AB|≤|OA|＋|OB|＝a＋b，
???a＋b＝15，?a＝10，所以?解得?
?a－b＝5，?b＝5.??
答案：10 5
→→→→→
13．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|AB－BC|＝________． 解析：如图，在△ABD中，
AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°， →→→→AB－BC＝AB＋CB →→→＝AB＋BD＝AD.
→
易求得AD＝3，即|AD|＝3. →→
所以|AB－BC|＝3. 答案：3
14．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d→→
的方向(用箭头表示)，使a＋b＝BA，c－d＝DC，并画出b－c和a＋d.
→→→→→→
解：因为a＋b＝BA，c－d＝DC，所以a＝OA，b＝BO，c＝OC，d＝OD.如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可→→得，b－c＝EO，a＋d＝OF.
[C 拓展探究]
→→
15．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，CM＝a，CA＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|； (2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， 所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点， 所以CM＝AM＝BM.
新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.2向量的减法运算学案新人教A版必修第二册
