高考微专题——阿波罗尼斯圆及其应用
在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。
一、背景展示
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆. 如图，点A,B为两定点，动点P满足PA??PB，
则??1时，动点P的轨迹为直线；当??1时，动点P的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设AB?2m（m?0）,PA??PB．以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则． A（?m，0），B（m，0）又设C（x，y），则由PA??PB得:(x?m)2?y2??(x?m)2?y2，
（）x?2m（??1）x?（??1）y?m（1??）两边平方并化简整理得:??1，
当??1时，x?0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
2222222?2?12?m?2?124?2m22(m,0)当??1时，(x?2，轨迹为以点为圆心，以长为半径的m)?y?2222??1??1??1(??1)圆．
二、问题呈现
例1、 （2019湖北理14）如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），且AB?2．
（Ⅰ）圆C的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆．．O:x2?y2?1相交于M,N两点，下列三个结论：①NBNAMAMBNBNAMAMBNANB?MAMB y B C N M A O T x ；
②??2；③??22．
其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号） 解析：（Ⅰ）易知半径r?（Ⅱ）方法一：
因为圆心C(1,2)， ?E(0,2)
2，所以圆的方程为?x?1??y?22??2?2；
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又因为AB?2，且E为AB中点，所以A0,2?1,B0,2?1
因为 M,N在圆 O:x2?y2?1上，可设M(cos?,sin?)，N(cos?,sin?) 所以：NA????? (cos??0)2?[sin??(2?1)]2
所以：
NANBMAMB?2(2?1)(2?sin?)2(2?1)(2?sin?)NANB??2?1,
同理：
?2?1，所以：
MAMB?2-1，①正确；
NBNANBNA-MAMBMAMB?12?11?(2?1)?2, ②正确
??2?1?(2?1)?22，③正确
所以：①、②、③正确 方法一可以改进为：
设P?x,y?为圆C上任意一点，则有：
PAPB同理
?x2?(y?2?1)2x?(y?2?1)-MAMB22?4?22?2(2?1)y4?22?2(2?1)y?2?1，①正确；
NBNA??(2?1)?(2?1)?2，②正确；
NBNAMAMB?(2?1)?(2?1)?22，③正确.
这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆O的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆O正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的. 方法二:
如上图所示, 在（Ⅰ）的基础上易得 于是EA?2-2 ，EB?，所以2 EAEBFAFB?2-1，
，FB?2 FA?2 ?2，所以?2-1，
所以：圆O是以A,B为两定点,且比值为2?1的阿波罗尼斯圆,
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故：
NANB?MAMB?2-1，①正确
NBNA-MAMB?12?1?(2?1)?2, ②正确
NBNA?MAMB?12?1?(2?1)?22，③正确
因此： ①，②，③3个结论都成立.
方法三：先引进一个概念----圆的反演点：己知圆O的半径为r，从圆心O出发任作一射线，在射线上
任取两点M，N，OM?m,ON?n且OM?ON?r2，则称M，N是关于圆O的反演点。圆的反演点也可由以下几何方法获得，若M在圆外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与OM的交点就是M的反演点N；若M在圆内，则连接OM，过点M作OM的垂线与圆交点处的两切线的交点即为M的反演点N.
2在（Ⅰ）的基础上易得：A(0,2?1)，B(0,2?1)，则有OA?OB?1?r，
则点A，B是圆O:x2?y2?1的一对反演点， 取圆O上一点D(0 ,1)，则有
DADB?2?22?2?1,
所以圆O是以A，B为反演点，比例系数为2?1的阿波罗尼斯圆. 即对圆O:x2?y2?1上任一点P，均有
PAPB?2?1，
故有：
NANB?MAMB?2-1，①正确
NBNA-MAMB?12?1?(2?1)?2, ②正确
NBNA?MAMB?12?1?(2?1)?22，③正确.
2BC，则S?ABC的最大值为
练习1：（2019江苏卷13）若AB?2，AC?解法一： 利用余弦定理和函数的最值问题处理 设AC?2BC?2x，
所以：cosC?3x2?422x2??x4?24x2?1622x2，
1 则：S?absinC?2?x4?24x2?16，
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2所以：当x?12时，S?ABC的最大值为22.
该方法从余弦定理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高. 解法二： 建立平面直角坐标系处理最值问题
以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（?1， ，0），B（1，0）设C（x，y），由AC?22222BC得（x?1）?y2?2?（x?1）?y2，
2（x?3）?8?8，∴y?22， 整理得：y??x?6x?1??则S?ABC?1??2y?22，所以S?ABC的最大值是22． 2解法三： 利用阿波罗尼斯圆
显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图的直角坐标系，则A（?1， ，0），B（1，0）因为
ACBC?2，得C的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得方程：?x?3??y2?8，
2设圆心为M,，显然当CM?x轴时，?ABC面积最大，此时CM?22, 评注：既然?ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P ，Q， 现在问：P ，Q这两点究竟有什么性质？由于
PACA??2， PBCB∴CP为?ABC的内角平分线；同理，CQ为?ABC的外角平分线.
这就是说，P ，Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此该题又有如下的简洁解法： 因为动点C 到定点A（?1距离之比为2, ，0），B（1，0）则有 x?1?2x?1，解得：x1?3?22或x2?3-22，
所以x1?3?22为内分点，x2?3?22为外分点， 圆半径r?1?x2?x1??22，即为三角形高的最大值， 2即?ABC高的最大值是22，故?ABC的面积的最大值是22.
阿波罗尼斯圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现。我们在学习过程中应该强化对这一知识点的整理。如果掌握这一知识背景，可以主动引导求解的方向，降低求解的难度。但有些问题中，阿氏圆并不那么明显，需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿氏圆的特点.
练习2：（2019江苏卷17）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4。设圆C的半径为1，圆心在l上。
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（Ⅰ）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.
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高考二轮复习微专题阿波罗尼斯圆及其应用
