精品
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0. A．0 C．2
B．1 D．3
解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
答案：C
→
2．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量DC＝( )
→→1
A.BA＋BC 2→→1
C．－BA－BC
2
→
→→1
B.BA－BC 2→→1
D．－BA＋BC
2
→1
解析：因为D是AB的中点，所以BD＝BA，
2→1
所以DC＝BC－BD＝BC－BA.
2答案：D
→
A．A，B，D C．B，C，D
→
→
2AB，所以A，B，D三点共线．
答案：A
→→
→
4．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则( )
→
→B．A，B，C D．A，C，D →
→
→→
→→
→
→
3．已知非零向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
→→→→
解析：因为AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，所以AC＝AB＋BC＝－4a＋8b，BC＋CD＝2a＋4b＝BD＝
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→→A.PA＋PB＝0 →→C.PB＋PC＝0
→
→
→
解析：如图，因为BC＋BA＝2BP，
→→B.PC＋PA＝0 →→
→
D.PA＋PB＋PC＝0
所以P是线段AC的中点，
→答案：B
→
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若AB＝a，→
→1
A.a＋b 31C．a＋b
3
解析：由已知条件可知BE＝3DE， 1
所以DF＝AB，
3
→11
所以AF＝AD＋DF＝AD＋AB＝a＋b.
33答案：A 二、填空题
6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b. |a|5
解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，
|b|75
又方向相反，所以a＝－b.
75
答案：－
7
7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________． 解析：因为λ a＋b与a＋2b平行，
所以λ a＋b＝t(a＋2b)，即λ a＋b＝t a＋2t b，
→→→→
1
B.a＋b 21D．a＋b
2
→
→→
所以PA＝－PC，即PC＋PA＝0.
AD＝b，则AF＝( )
精品
??λ＝t，所以?解得
??1＝2t，
??
?1??t＝2.
λ＝，
1
2
1答案：
2
→
→→
答案：3 三、解答题
→→→
9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OP＝xOA＋yOB，求x＋y的值． →→→→→→→→→→→
解：设AB＝BP，则OB＝OA＋AB，则OP＝OB＋BP＝OA＋AB＋BP＝ →→→→→→→OA＋OB－OA＋a(OB－OA)＝OB(1＋a)－aOA 所以x＋y＝1＋a－a＝1.
→→→
10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f. →
(1)将AD用e，f表示； (2)求证：四边形ABCD为梯形．
→→→→
(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
→→
(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC， →→→→
所以AD与BC同向，且AD的长度为BC长度的2倍， 所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC， 所以四边形ABCD是梯形．
B级 能力提升
1．如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是( )
→
→→
→→→→
→→
8．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为________． 解析：因为MA＋MB＋MC＝0，所以点M是△ABC的重心，所以AB＋AC＝3AM，所以m＝3.
2020高中数学 第二章 2.2的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案 新人教A版必修4
