由?式得
1?k1?l?d?k1?l?d?k2?hn?1?d?(h?d)?h?h0??n??01?k2?l?1?k2?l?1?k23?k1?l?d?21?k1?l?d?k2 ??? ?(h?d)?h?h0???n??01?k2?l?1?kl1?k????22??3
2
?
??(hn?d)??
3式中
1?k 1?l?d?????
1?k2?l?2
?
k?l?d?k2? h0??1??h0?1?k2?l?1?k2 ?
）由???式有（ii
hn?1?d??(hn?d)????[?(hn?1?d)??]??
?
??2(hn?1?d)??(1??)
?
??n(h1?d)??(1???1??nn??(h1?d)??1????n?1)
?
即于是
1??nn hn?1??(h1?d)?d??1?? ?
评分参考：第（1）问17分。①②③式各2分，④式3分，⑤⑥⑦⑧式各2分；第（2）问18分，⑨⑩???各2分，??式各1分，???式各2分。
四、（35分）参考解答：（1）线框ab边和cd边绕OO?轴的转动惯量Jab和Jcd均为
m?l?ml2Jab?Jcd????4?2?16l/2 m2ml2Jad?Jbc?2?rdr?4l4802hn?1?hn??n?1[(??1)(h1?d)??]
线框ad边和bc边绕OO?轴的转动惯量Jad和Jbc均为
线框绕OO?轴的转动惯量J为
ml2 J?Jab?Jcd?Jad?Jbc?6 ①
（2）当线框中通过电流 I时，ab和cd两边受到大小相等，方向相反分别指向X轴正向和反向的安培力。设线框的ab边转到与X轴的夹角为?时其角速度为?，角加速度为?，ab边和cd边的线速度则
l为v??，所受安培力大小为F?BlI，线框所受力偶矩为
2 l2 ②M??2?BlIsin???BlI?
2 ?方向相反，根据刚体转动定理，有式中已用到小角近似sin???，其中负号表示力偶矩与线框角位移
2 J???Bl I?
此方程与单摆的动力学方程在形式上完全一致，所以线框将做简谐运动，可设其运动方程为
③④
???0cos?t
将其代入③式，可求得
于是，角位移?随时间t而变化的关系式为
??lBI6BI? Jm6BIt m
⑤ ⑥
???0cos角速度?随时间t而变化的关系式为
????0角加速度?随时间t而变化的关系式为
6BI6BIsint mm
⑦
⑧
6BI6BI????0cost
mm
6BIπm????0由⑥⑦⑧式知，当t?时，??0，达到反向最大值，??0，可见，线框的运动是以
m26BI
??0为平衡位置、圆频率 ??m6BI、周期T?2π、振幅为?0的简谐运动。
6BIm（3）线框在做上述运动的过程中，当逆时针转至ab边与X轴正向重合时，
⑨
?? 0，且?0??06BI， m
此时P、Q形成断路，线框内没有了电流，不再受到安培力的力矩。由于没有阻力，线框将保持作角速度为?0的匀角速转动
?(t)??0，t≥t0
⑩
因为ab和cd边切割磁力线，线框中产生的感应电动势随时间变化的关系为
??2Blvsin??0?=Bl2?0????6BIl6BI(t?t0)??2Bl?sin??0(t?t0)?m2m?????6BI6BIsin??0(t?t0)?mm??
?6BIsin??0m?
?
P、Q间电压VPQ随时间变化的表达式为
VPQ??Bl2?0 ?6BI(t?t0)? m?
?
（4）当P、Q短路后，设线框转到某一角位置?时的角速度为?，由于ab和cd边切割磁力线产生的
Bl2? sin?，ab和cd边受到的安培力大小为感应电动势为Bl?sin?，在线框中产生的电流为
R??Bl2?B??R?B2l3?sin?，分别指向X轴正向和反向，形成的力偶矩为?lsin??R?
B2l42 M???sin?
R
?
设P、Q刚短路的时刻为t1，此时线框还在以⑨式的角速度逆时针转动，其角动量为
ml26BImBIJ?0??0?l2?0
6m6
?
由于受到上述力偶矩的作用，线框转动会减慢直至停止。设停止转动时的时刻为tx，角位置为?1??，此时线框的角动量为0。根据角动量定理，应有0?J?0?Mdt，
? t1tx ?
由此得
B2l4?sin2?dt?J?0??Rt1tx?1????1B2l4?B2l??sin2?1 sin?d??RR
?
式中右端积分已应用了?是小角度的题设条件。由①?式得
??当
RJ?0R?0mI?
B2l4sin??1Bl2sin2?16B ?
?
?
?1?π 2 RBl2
时，?有最小值
?m?mI?0 6B评分参考：第（1）问2分，①式2分；第（2）问12分，②③④⑤⑥式各2分，⑦⑧式各1分；第（3） 问8分，⑨⑩??式各2分；第（4）问13分，?????式各2分，?式1分，?式2分。
五、（35分）参考解答：
（1）由于本问题在xOy平面上具有以圆点为中心的圆对称性，不妨设某一带正电荷的粒子的速度为
(0，vsin?，vcos?)被电场和磁场束缚的粒子将在以材料表面为底的圆柱形区域内做z方向的螺旋运动（即在xOy平面散匀速圆周运动。在z方向做匀变速直线运动）。
粒子在xOy平面内的投影做匀速圆周运动的半径为
r(?)?mvsin? qB ①
若该粒子能被该电场和磁场束缚在以圆形材料为底的
R圆柱形区域内，则有
r(?)≤0 ②
2
假设被电场和磁场束缚住的粒子的发射方向均匀分布在以z轴为对称轴的立体角??：0≤?≤?，0≤?≤2π内，这一立体角所对应半径为一个长度单位的球面的面积（立体角的值??） 为
?????2π?dcos??2π(1?cos?)
0 ③
从原点O向xOy平面上方各方向均匀发射的带正电荷的粒子所占的立体角为2π。按题意，被该电场和
磁场束缚的粒子占发射粒子总数的百分比?为?????π?50% ④
2π2π
π?≤?? ⑤由③④式得
3 可见，只要粒子速度方向与z轴的夹角?满足条件⑤式，它就必然会被电场和磁场束缚住。
由①②③④⑤式可知3m?R? ⑥
qB
（2）
（i）带正电荷的粒子在磁场和电场区域做螺旋运动，由①式得，粒子投影在xOy平面做一次圆周运动
的时间为
2πr2πmT?? ⑦
vsin?qB
粒子在z方向做匀变速直线运动，以粒子发射时刻为计时零点．设粒子第一次与材料表面碰撞前的瞬
t1(?)间为时刻t1(?)，由运动学公式有 ⑧vcos??a?0 2
qE式中 ⑨ a?m由⑧⑨式得
粒子在xOy平面的投影做一次圆周运动的路程为
t1(?)?2mvcos? qE
⑩
d(?)?2πr(?)?2πmvsin? qB ?
粒子在xOy平面的投影在t1时间走过的总路程sz?0(?)为
t1(?)mv2sz?0(?)?d(?)?sin2?
TqE
?
π?mv2?πmaxsz?0?sz?0????? ???时，sz?0最大?当
4qE??4 （ii）若粒子的投影在xOy平面上走过的总路程恰好达到最大值，则?的取值如?式所示，粒子在z方
向做匀减速直线运动，在xOy平面上做匀速圆周运动，以粒子发射时刻为计时零点，粒子在发射后时
最终其动能耗尽（沉积到材料表面)。利用?式，粒子从发射直至最终动能耗尽而沉积于材 刻t的合速度大小为22π??π????vsin?s?? ?料表面的过程中运动的总路程S总为Sv合?vcos?at? n总?s1??s2?4?4???
n?1?(1?k??k?)s1 ?
该粒子从发射到第一次与材料表面碰撞前的瞬间运动的路程为 s1??10sπ/4)/2t1(??111?kmv2 ?s1?2?dtv合?du1?u2 ?qE00
已利用⑩?式。利用题给积分公式，由?式得2?ln(1?2)12s1?mv ?
qE2它与粒子发射时的动能成正比。
粒子每一次与材料表面碰擅前后，z方向速度反向，而沿xOy平面的速度方向不变，且沿z方向的速度
10%，粒子再次出射的出射角大小不变。粒和沿xOy平面的速度都按同样比例减小：以至于动能减小
子按照同样的规律运动下去，其第n次发射到与材料表面碰撞前的瞬间走过的路程sn为
?
sn?kn?1s1，k?1?10%
最终其动能耗尽（沉积到材料表面)。利用?式，粒子从发射直至最终动能耗尽而沉积于材料表面的过程中运动的总路程S总为S?s1?s2??sn?总
?(1?k??kn?1??s1?10s11?k)s1
?
5mv2由??式得S总?[2?ln(1?2)]?
qE
评分参考：第（1）问12分，①②③④⑤⑥式各2分；第（2）（i）问13分，⑦式2分，⑧⑨式各1分，
⑩??式各2分，?式1分，?式各2分；第（2）（ii）问10分，?????式中2分。 六、（35分）参考解答：
（1）设大气压强为P0，毛细管的内径为r，外径为R，水的密度为?0，表面张力系数为?，重力加速度为g，对于水柱的上端水与管壁完全浸润，接触角??0，水柱上端内表面压强P1为
2? P1?P0?r2?水柱下端内表面压强P2为 P2?P0?a P?P??gh 水柱平衡时有
210
①②③ ④
由①②③式得由④式和题给数据得平衡条件得即
由上式和题给数据得
2?ra?
?0ghr?2?
a?2.79?10?3m ⑤
（2）将该毛细管长度的三分之一竖直浸入水中后，设管内水柱顶部与管外水平的水面高度差为h1，由
?0?πr2h1g?2πr??
h1?2??0gr
⑥
⑦
h1?2.97cm?4.00cm
毛细管内壁所受的附着力F1大小等于管外水平的水面以上管内水柱的重力大小G1，即
F1?G1??0gπr2h1
⑧
方向向下。玻璃管外壁所受的附着力F2大小为
F2??2πR
h，玻璃管所受的重力大小为方向向下。设玻璃管长度为
⑨
G?2?0gπ(R2?r2)h
方向向下。玻璃管所受到的浮力大小F0为
?
⑩
12F0?h?0gπ(R2? r )
3方向向上。设向上的拉力大小为F，由平衡条件，得由⑦⑧⑨⑩??式得
22F?G?G1?F2?F02?
?
1 2 2
F??gπ(R?r)h??0gπrh1??2πR??0gπ(R?r)h 3
522??0gπh(R?r)?2π?(R?r)3F?7.87?10?2N ?
评分参考：第（1）问15分，①②③④⑤式各3分；第（2）问20分，⑥⑦⑧⑨⑩??式各2分，?
?式各3分。
由?式和题给数据得
2017年第34届全国中学生物理竞赛决赛真题及答案（高清pdf版） - 图文
