山东省滕州某中学2020 - 2021学年高二数学下学期第二次月考试题（含解析可打印） - 图文

令 g x x 1

ex ，则 gx x 2

ex ，

令

gx0 ，得 x 2 ，令

gx 0 ，得 x 2 ； 所以

g x在

,

2单调递减，在 2,

单调递增， 又当 x 1时，

g x0 ， g 1

2e ，

所以当 x 1时， f x 0 ，当 x 1

时， f x 0 ； 即 f x 在

,1

单调递减，在 1,

单调递增.

ex1 a 0, （2） f (x) ex x 1(1

x)

x满足：

1 ,

x 1ex2 a 0, a ，因此极值点 x2

2

所以

1 ex1 1 ex2 由（1）即 g x ，不妨

2 x .

x 1 x 2 g x 1 2 设 x 1 2

要证 x1 x2 4 ，则只要证 x2

4

x1 ，而 4 x1

2 ，因

此由

g(x) 的单调性，只要 能证 g(x2 ) g(4

x1 ) ，即 g(x1 )

g(4

x1 ) 即可． 令

h x g x g 4 x ， 则 h

x x 2ex

2 xe

4

x x 2

e

x e4x ，

当 x 2 时， x 2

0 ， x 4

x ， ex e4

x ，所以 hx0 ， 即 h x在

,

2

单调递增，又 h 2

0 ，

所以

h x1

g x1

g 4

x1

h 2

0 ， 所以 g x1

g 4 x1 ，即

g x2

g 4

x1

，

又

x2 2 ， 4

x1

2 ， g x在 2,

单调递增， 所以

x2 4

x1 ，即 x1

16

x2

4 .

17