第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
[基础题组练]
1.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A.2 C.6
B.4 D.8
11212
解析:选C.设扇形的半径为r,弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=rα=r222×4,求得r=1,l=αr=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.
2.若角α与β的终边相同,则角α-β的终边( ) A.在x轴的正半轴上 C.在y轴的负半轴上
B.在x轴的负半轴上 D.在y轴的正半轴上
解析:选A.由于角α与β的终边相同,
所以α=k·360°+β(k∈Z),从而α-β=k·360°(k∈Z),此时角α-β的终边在x轴正半轴上.
4
3.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为( )
51A.-
2C.-
3 2
2
1B. 2D.3 2
解析:选B.因为r=64m+9, 所以cos α=
4=-, 2
564m+9
2
-8m4m11
所以m>0,所以2=,因此m=.
64m+9252
???ππ
?中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 4.集合?α?kπ+≤α≤kπ+,k∈Z
42???
πππ
解析:选C.当k=2n时,2nπ+≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α的终边和≤α≤
424πππ
的终边一样.当k=2n+1时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边242
ππ
和π+≤α≤π+的终边一样.故选C.
42
πsin θcos θ5.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=+
5|sin θ||cos θ|+
tan θ的值为( )
|tan θ|A.1 C.3
B.-1 D.-3
π
解析:选B.由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,
5又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角, 所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0. 所以y=-1+1-1=-1.故选B.
6.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,P沿直线l匀速向右,Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动,当点Q运动到如图所示的位置时,点P也停止运动,连接OQ,OP,则阴影部分的面积S1,S2的大小关系是( )
A.S1≥S2 B.S1≤S2 C.S1=S2
D.先S1
解析:选C.因为圆O与直线l相切,所以OA⊥AP,
︵1︵1︵1
所以S扇形AOQ=·AQ·r=·AQ·OA,S△AOP=OA·AP,因为AQ=AP,
222所以S扇形AOQ=S△AOP,即S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB,则S1=S2.故选C. 7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于4
点A,点A的纵坐标为,则cos α=________.
5
4
解析:因为A点纵坐标yA=,且A点在第二象限,又因为圆O为单
533
位圆,所以A点横坐标xA=-,由三角函数的定义可得cos α=-.
55
3
答案:-
5
8.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ是第________象限角. 解析:因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,所以sin θcos θ<0,2cos θ??sin θ>0,<0,即?所以θ为第二象限角.
?cos θ<0,?
答案:二
9.函数y=2cos x-1的定义域为________. 解析:因为2cos x-1≥0, 1所以cos x≥.
2
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示). ππ
所以x∈[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
33ππ??答案:?2kπ-,2kπ+?(k∈Z) 33??
3??1
10.已知角α的终边上有一点的坐标为?,-?,若α∈(-2π,2π),则所有的
2??2
α组成的集合为________.
3??1
解析:因为角α的终边上有一点的坐标为?,-?,所以角α为第四象限角,且tan
2??2
α=-3,即α=-+2kπ,k∈Z,因此落在(-2π,2π)内的角α的集合为?-,
?π5π?
答案:?-,?
3??3
π3
π5π?
?.
33??
?
11.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tan θ=-x,求sin θ+cos θ的值.
1
解:因为θ的终边过点(x,-1)(x≠0),所以tan θ=-.
x又tan θ=-x,所以x=1,即x=±1. 当x=1时,sin θ=-
22,cos θ=. 22
2
因此sin θ+cos θ=0; 当x=-1时,sin θ=-
22
,cos θ=-, 22
因此sin θ+cos θ=-2.故sin θ+cos θ的值为0或-2. 12.已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
2r+l=8,????r=3,??r=1,
?(1)由题意可得?1解得或? ??l=2l=6,lr=3,????2
l2l所以α==或α==6.
r3r(2)因为2r+l=8, 11
所以S扇=lr=l·2r
241l+2r2182
≤()=×()=4, 4242
当且仅当2r=l,即α==2时,扇形面积取得最大值4.所以圆心角α=2,弦长AB=2sin 1×2=4sin 1.
[综合题组练]
3ππ
1.若-<α<-,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大
42小是( )
A.sin α<tan α<cos α C.sin α<cos α<tan α
B.cos α<sin α<tan α D.tan α<sin α<cos α
lr解析:选C.如图所示,作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,观察可得,AT>OM>MP,故有sin α<cos α<tan α.
2.已知θ∈[0,π),若对任意的x∈[-1,0],不等式xcos θ+(x+1)sin θ+
2
2
x2+x>0恒成立,则实数θ的取值范围是( )
A.?C.?
?π,5π?
??1212??π,3π?
?4??4
B.?D.?
?π,π?
??64??π,5π?
?6??6
2
解析:选A.由题意知,令f(x)=(cos θ+sin θ+1)·x+(2sin θ+1)x+sin θ>0,因为cos θ+sin θ+1≠0,所以f(x)>0在[-1,0]上恒成立,只需满足
???f(0)>0?sin θ>0
??? ?2sin θ+11?-?>0sin 2θ>f??????2(1+cos θ+sin θ)??2
?θ∈?,π5π??,故选A.
?1212?
3.若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4,则这两个扇形的周长之比为________. 12
αr21
解析:设两个扇形的圆心角的弧度数为α,半径分别为r,R(其中r<R),则=,
124αR22r+αr所以r∶R=1∶2,两个扇形的周长之比为=1∶2.
2R+αR答案:1∶2
4.已知x∈R,则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.
π5π
解析:在[0,2π]区间内,由三角函数线可知,当x∈(,)时,sin x>cos x,所
44π5π
以在(-∞,+∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范围是(2kπ+,2kπ+),k∈Z.
44
π5π
答案:(2kπ+,2kπ+),k∈Z
445.若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值;
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号. 解:(1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0), 所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
1
当a>0时,r=5a,sin θ+cos θ=-.
51
当a<0时,r=-5a,sin θ+cos θ=. 53?π?(2)当a>0时,sin θ=∈?0,?,
2?5?4?π?
cos θ=-∈?-,0?,
5?2?则cos(sin θ)·sin(cos θ) 3?4?=cos ·sin?-?<0; 5?5?
f(-1)>0cos θ>0
2021版新高考数学一轮复习第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数高效演练分层突破
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