2021版新高考数学一轮复习第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数高效演练分层突破

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

[基础题组练]

1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A．2 C．6

B．4 D．8

11212

解析：选C.设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝rα＝r222×4，求得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.

2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( ) A．在x轴的正半轴上 C．在y轴的负半轴上

B．在x轴的负半轴上 D．在y轴的正半轴上

解析：选A.由于角α与β的终边相同，

所以α＝k·360°＋β(k∈Z)，从而α－β＝k·360°(k∈Z)，此时角α－β的终边在x轴正半轴上．

4

3．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )

51A．－

2C．－

3 2

2

1B. 2D.3 2

解析：选B.因为r＝64m＋9， 所以cos α＝

4＝－， 2

564m＋9

2

－8m4m11

所以m＞0，所以2＝，因此m＝.

64m＋9252

???ππ

?中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 4．集合?α?kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z

42???

πππ

解析：选C.当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤

424πππ

的终边一样．当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边242

ππ

和π＋≤α≤π＋的终边一样．故选C.

42

πsin θcos θ5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋

5|sin θ||cos θ|＋

tan θ的值为( )

|tan θ|A．1 C．3

B．－1 D．－3

π

解析：选B.由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，

5又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1.故选B.

6.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右，Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是( )

A．S1≥S2 B．S1≤S2 C．S1＝S2

D．先S1S2

解析：选C.因为圆O与直线l相切，所以OA⊥AP，

︵1︵1︵1

所以S扇形AOQ＝·AQ·r＝·AQ·OA，S△AOP＝OA·AP，因为AQ＝AP，

222所以S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，则S1＝S2.故选C. 7.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于4

点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________．

5

4

解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单

533

位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.

55

3

答案：－

5

8．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ??sin θ>0，<0，即?所以θ为第二象限角．

?cos θ<0，?

答案：二

9．函数y＝2cos x－1的定义域为________． 解析：因为2cos x－1≥0， 1所以cos x≥.

2

由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示)． ππ

所以x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．

33ππ??答案：?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z) 33??

3??1

10．已知角α的终边上有一点的坐标为?，－?，若α∈(－2π，2π)，则所有的

2??2

α组成的集合为________．

3??1

解析：因为角α的终边上有一点的坐标为?，－?，所以角α为第四象限角，且tan

2??2

α＝－3，即α＝－＋2kπ，k∈Z，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为?－，

?π5π?

答案：?－，?

3??3

π3

π5π?

?.

33??

?

11．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．

1

解：因为θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tan θ＝－.

x又tan θ＝－x，所以x＝1，即x＝±1. 当x＝1时，sin θ＝－

22，cos θ＝. 22

2

因此sin θ＋cos θ＝0； 当x＝－1时，sin θ＝－

22

，cos θ＝－， 22

因此sin θ＋cos θ＝－2.故sin θ＋cos θ的值为0或－2. 12．已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

2r＋l＝8，????r＝3，??r＝1，

?(1)由题意可得?1解得或? ??l＝2l＝6，lr＝3，????2

l2l所以α＝＝或α＝＝6.

r3r(2)因为2r＋l＝8， 11

所以S扇＝lr＝l·2r

241l＋2r2182

≤()＝×()＝4， 4242

当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

[综合题组练]

3ππ

1．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大

42小是( )

A．sin α＜tan α＜cos α C．sin α＜cos α＜tan α

B．cos α＜sin α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α

lr解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α＜tan α.

2．已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1，0]，不等式xcos θ＋(x＋1)sin θ＋

2

2

x2＋x>0恒成立，则实数θ的取值范围是( )

A.?C.?

?π，5π?

??1212??π，3π?

?4??4

B.?D.?

?π，π?

??64??π，5π?

?6??6

2

解析：选A.由题意知，令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)·x＋(2sin θ＋1)x＋sin θ>0，因为cos θ＋sin θ＋1≠0，所以f(x)>0在[－1，0]上恒成立，只需满足

???f（0）>0?sin θ>0

??? ?2sin θ＋11?－?>0sin 2θ>f??????2（1＋cos θ＋sin θ）??2

?θ∈?，π5π??，故选A.

?1212?

3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 12

αr21

解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，

124αR22r＋αr所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.

2R＋αR答案：1∶2

4．已知x∈R，则使sin x>cos x成立的x的取值范围是________．

π5π

解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x∈(，)时，sin x>cos x，所

44π5π

以在(－∞，＋∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范围是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.

44

π5π

答案：(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z

445．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

1

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.

51

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝. 53?π?(2)当a＞0时，sin θ＝∈?0，?，

2?5?4?π?

cos θ＝－∈?－，0?，

5?2?则cos(sin θ)·sin(cos θ) 3?4?＝cos ·sin?－?＜0； 5?5?

f（－1）>0cos θ>0