2024年普通高等学校招生全国Ⅰ卷五省优创名校入学摸底第一次联考
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A?xx2?x?2?0，B?xy?ln(1?2x)，则A?B?
A.(,1] C.[?2,)
????12
B.[?2,?) D.[?2,]
1212122.设复数z1在复平面内对应的点为(x,y)，z?(1?2i)z1，若复数z的实部为1，则
A.x?2y?1 C.2x?y?1 3.已知a?log2
B.2x?y?1 D.x?2y?1
2?3，b?log4?，c?0.6，则a,b,c的大小关系为 3A.b?c?a B.c?b?a C.b?a?c D.c?a?b
1x?x4.函数f(x)?e?e?的部分图象大致为
x
5.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等腰直角三角形，F为线段AE的中点，设向量BC?a，BA?b，则CF?
13a?b 4235C.?a?b
44A.?
33a?b 4215D.a?b 44B.
6.执行右边的程序框图，如果输入的n?6，那么输出的S?
A.167 B.168 C.104 D.105
7.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、已蛇 、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，一同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是
A.
3 88 B.
3 44 C.
1 20 D.
9 448.若函数f(x)?ax?lnx的图象上存在与直线x?3y?4?0垂直的切线，则实数a的取值范围是
A.[3,??)
B.(10,??) 3C.[10,??) 3D.(3,??)
9.正八面体是由八个全等的正三角形围成的几何体，如图，关于正八面体ABCDEF有以下结论：①AC?平面BEDF，且BD?平面AECF；②平面EAD?平面ADF；③CE与AD，AB，BF，DF所成的角都是
?；④平面BEC∥平面ADF，其中所有正确结3论的编号是
A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③
10.从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线，小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2号路线不堵车，3号路线不堵车”，司机乙说：“1号路线不堵车，2号路线不堵车”，司机丙说：“1号路线堵车，2号路线不堵车”.如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是
A.1号路线 B.2号路线 C.3号路线 D.2号路线或3号路线 11.已知抛物线y?16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则
2NF52?50的最小值为 MF5 2212.设数列?an?的前n项和为Sn，且满足a1?a2?2，用[x]表示不超过x的最大整数，设bn?[an]，an?1?Sn?，
3A.2
B.1
C.5
D.
数列?bn?的前2n项和为T2n，则使T2n?2000成立的最小正整数n是
A.5
B.6
C.7
D.8
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上. 13.已知函数f(x)?2cosx，将f(x)的图象上所有的点向左平移
2?个单位长度得到g(x)的图象，则函数4y?f(x)?g(x)的最小正周期是 ，最大值是 .（本题第一空2分，第二空3分）
14.设Sn是公差不为0的等差数列?an?的前n项和，且a7??2a1，则
S9? . S5?a415.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1?0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立的解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这nn个人研究项目
M的结果相互独立.设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2?P1，则n的最小值是 .
x2y216.已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是双曲线右支上的一点，若直线AF2与
ab直线y??bx平行且△AF1F2的周长为9a，则双曲线的离心率为 . a
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做大.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c?4，(a?b)?16?ab. （1）求角C；
（2）当△ABC的面积最大时，求a,b，并求出最大面积.
18.（12分）
如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB∥CD，AD?AB，且
2CD?AA1?2AB?22，AD?2，AC与BD交于点O，点A1在底面ABCD内的投
影刚好是点O.
（1）证明：平面B1CD1?平面AA1C. （2）求直线AA1和平面B1CD1所成角的正弦值.
19.（12分）
22x2y2已知椭圆2?2?1(a?0,b?0)的离心率为，一个焦点在直线y?2x?4上，另一条直线l与椭圆
3ab交于P，Q两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为k1，直线OQ的斜率为k2.
（1）求该椭圆的方程. （2）若k1?k2??
20.（12分）
2024超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增.现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到其100家加盟超市3天内进货总价的统计结果如下表所示： 组别（单位：百元） [20,40) 频数 3 1，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 9[40,60) 11 [60,80) 20 [80,100) [100,120) [120,140) 27 26 13 （1）由频数分布表大致可以认为，被抽查超市3天内进货总价W~N(?,202)，?近似为这100家超市3天内进货总价的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态分布，求P(76?W?132.8)；
（2）在（1）的条件下，该公司为增加销售额，特别是这100家超市制定如下抽奖方案：
①令m表示“超市3天内进货总价超过?的百分点”，其中m?W????100.若m?[0,10)，则该超市
获得1次抽奖机会；m?[10,20)，则该超市获得2次抽奖机会；m?[20,30)，则该超市获得3次抽奖机会；
m?[30,40)，则该超市获得4次抽奖机会；m?[40,50)，则该超市获得5次抽奖机会；m?50，则该超市
获得6次抽奖机会.另外，规定3天内进货总价低于?的超市没有抽奖机会；
1. 3设超市A参加了抽查，求超市A在3天内进货总价W?122.5百元.记X（单位：元）表示超市A获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望.
②每次抽奖中奖获得的奖金金额为1000元，每次抽奖中奖的概率为附参考数据与公式：
202?14.2，若W~N(?,?2)，则P（????W????）?0.6827，
P(??2??W???2?)?0.9545，P(??3??W???3?)?0.9973.
21.（12分）
已知函数f(x)?xe?a.
（1）证明：当a?0时，f(x)有且仅有一个零点.
（2）当a?[?2e,0)，函数g(x)?(x?1)?e?ax的最小值为h(a)，求h(a)函数h(a)的值域.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4,：坐标系与参数方程]（1分）
2xx?x??3?t，在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数）.以坐标原点为极值，x轴正半轴建立极
y?2?t?坐标系，曲线C的极坐标方程为??42cos(???4).
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，P(2,?3)为直线l上一点，求
23.[选修4—5,：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)?2x?3?x?2. （1）求不等式f(x)?2的解集；
（2）若不等式f(x)?a?3x?6对x?R恒成立，求实数a的取值范围.
11?. PAPB
2024年普通高等学校招生全国I卷五省优创名校2024届高三入学摸底第一次联考数学理科试题(word版带答案)
