【专题六】数学方法之特殊证法
【考情分析】
近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。在高考中所占的分值大约在30分左右。
这类考题的特点是：
（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；
（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；
（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；
预测2013年高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变； 【知识归纳】
1．定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。
2．反证法
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”
应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
3．数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相
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关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
4．不等式的证明方法
（1）比较法是证明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”与“作商法”，比差法的理论依据是：
a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0
＋
比商法的理论依据是a，b∈R，那么：
a?1 baa?b??1
baa?b??1
ba?b?判断a，b的大小，当a，b∈R时，可以通过判断a－b与0的大小来完成。当a，b∈R时，可以通过判断
＋
a与1的大小来完成。 ba”整体讨论，使问b比较法这种方法其本质就在于单独讨论“a，b”不等式难以证明时，就“a－b，题迁移“环境”，给问题带来新的结构。对a－b，构“a－b，
a变形后与0，1的比较提供可能，这种变形后的式子结ba”能够和“0，1”比较大小是比较法的精髓。 b作差法中，对差“a－b”的变形方法通常有通分、配方（非负数）、因式分解、二次函数的判别式等。 作商法的一般步骤是，求商 变形 判断与1的大小。
方法的选择：若不等式两边含有相同的项，或者作差以后能进行因式分解；能用配方法，能写成分式判断其符号，可使用作差法。
若不等式两边是指数形式，能使分子、分母变形得到相同结果的不等式，用作商法比较容易，也就是说，凡适合于求“商”运算，并能比较出商与1的大小的不等式，一般都适合于用作商法证明。
（2）综合法
综合法就是由已知出发，根据不等式性质，基本不等式等，逐步推导得到所要证明的不等式的一种方法，也就是用因果关系书写“从已知出发”借助不等式性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证的全过程，其特点可描述为“执因索果”，即从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，综合法证明题逻辑性很强，它要求每步推理都要有依据。
（3）分析法
证明不等式，可以从待证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化成为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能断定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。
分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，概括地说就是“从未知，
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看需知，逐步靠拢已知”。
分析法证明“若A则B”的基本模式是
欲证B为真 只需证B1为真 只需证B2为真 …………
只需证A为真， 今已知A为真，故B必真
其逻辑关系是B?B1?B2L?A
（4）放缩法
在证明不等式A＞B时，可以构造出数学式C，使A＞C，且C＞B，则A＞B得证。其中数学式C常常通过将A缩小或将B放大而构成，它的依据是不等式的传递性，这种证明方法叫做放缩法，用放缩法证明不等式，在高中数学中占有一定的比重。 【考点例析】 题型1：定义法
例1：（2012高考湖南）已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1，2，……
（1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式；
（2）证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列。
【答案】解（１）对任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，所以 B(n)?A(n)?C(n)?B(n), 即an?1?a1?an?2,亦即an?2?an?1?a2?a1?4.
故数列?an?是首项为１，公差为４的等差数列.于是an?1?(n?1)?4?4n?3. （Ⅱ）（１）必要性：若数列?an?是公比为ｑ的等比数列，则对任意n?N，有
???an?1?anq.由an?0知，A(n),B(n),C(n)均大于０，于是
B(n)a2?a3?...?an?1q(a1?a2?...?an)???q, A(n)a1?a2?...?ana1?a2?...?anC(n)a3?a4?...?an?2q(a2?a3?...?an?1)???q, B(n)a2?a3?...?an?1a2?a3?...?an?1
即
B(n)C(n)＝＝q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. A(n)B(n)?（２）充分性：若对于任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列，
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则
B(n)?qA(n),C(n)?qB(n)，
于是C(n)?B(n)?q?B(n)?A(n)?,得an?2?a2?q(an?1?a1),即 an?2?qan?1?a2?a1.
由n?1有B(1)?qA(1),即a2?qa1，从而an?2?qan?1?0. 因为an?0，所以
an?2a2??q，故数列?an?是首项为a1，公比为q的等比数列， an?1a1综上所述，数列?an?是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.
题型2：反证法
an?1?例2．（2012高考江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：
?bn??b??1?，n?N*，求证：数列??n?aan???n?2an?bnan?bn22， n?N*，
（1）设bn?1???是等差数列； ??（2）设bn?1?2?bn，n?N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． anbnan?bn=，∴an?1?22anan?bnbn?1?b?1??n??an?2解：（1）∵bn?1?1?。
∴
bn?1an?12?2??bn??bn?1??bn???bn???bn??1???。∴ ???????1????????1?n?N*? 。
aa?n??n?1??an???an???an???22222???bn???∴数列????是以1 为公差的等差数列。
a???n???（2）∵an>0，bn>0，∴
?an?bn?22?an2?bn20知q>0， 下面用反证法证明q=1，若q>1,则a1=矛盾。
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2a2
a1q若0 ∴b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1 ∴bn=2??2??2?22?2?2?2?1=2，∴ a1=b2=2。 【点评】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。（1）根据题设an?1?2an?bnan?bn22和 bn?1b?b??b??b?b?1?n，求出n?1?1??n?，从而证明?n?1???n??1而得证。 an?1an?an??an?1??an?（2）根据基本不等式得到1 例3．（11陕西理，21）设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f?(x)?1，xg(x)?f(x)?f?(x)． （1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与g()的大小关系； （3）是否存在x0?0，使得|g(x)?g(x0)|?存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负； 5 1x1对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不x
高三数学二轮复习 专题辅导(6)数学方法之特殊证法精品教学案
