第一章 解三角形单元测试
一 选择题：
1.已知△ABC中，A?30，C?105，b?8，则等于 （ ） A 4 B 42 C 43 D 45 2. △ABC中，B?45，C?60，c?1，则最短边的边长等于 （ ）
6631A 3 B 2 C 2 D 2
3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°
abc??4. △ABC中，cosAcosBcosC，则△ABC一定是 （ ）
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
5. △ABC中，B?60，b?ac，则△ABC一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
6.△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定
2S7. △ABC中，b?8，c?83，?163，则?A等于 （ ）
A 30 B 60 C 30或150 D 60或120
a?b?c8.△ABC中，若A?60，a?3，则sinA?sinB?sinC等于 （ ）
ABC31A 2 B 2 C 3 D 2 9. △ABC中，A:B?1:2，则cosA?（ ） C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，113A B C D 0 32410.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定
11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为
（ ）
A.
4003400米 B. 米 C. 2003米 D. 200米
3312 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛
和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )
海里 海里 C. 56 海里 3 海里
二、填空题：
13.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于 。 14.在△ABC中，已知b?503，c?150，B?30，则边长a? 。 15.在钝角△ABC中，已知a?1，b?2，则最大边c的取值范围是 。 16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 。
三、解答题：
cosAb4??cosBa3，求边a、b 的长。 17（本题10分）在△ABC中，已知边c=10, 又知
18（本题12分）在△ABC中，已知2a?b?c，sinA?sinBsinC，试判断△ABC的形状。
2
19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足： 2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。
20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球（如图所示）
2高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 3、三角形中的基本关系：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 2222224、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径， sin则有 abc???2R． sin?sin?sinC①化角为边：a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； 5、正弦定理的变形公式： abc，sin??，sinC?； 2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC； a?b?cabc④． ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②化边为角：sin??6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式： 111abcr(a?b?c)==S???C?bcsin??absinC?acsin?．=2R2sinAsinBsinC= 2224R2p(p?a)(p?b)(p?c) 8、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?， 222222c2?a2?b2?2abcosC． b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c29、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?． 2bc2ac2ab10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量。 ②已知三边求角） 11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90； ③若a?b?c，则C?90． 12、三角形的五心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 222222222 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 第一章 解三角形单元测试参考答案 一、选择题 BABDD CCACA C 二、填空题（4?4） 13?1 14、1003或503 15、5?c?3 16、403 4三、解答题 15、（本题8分） cosAbsinBbcosAsinB ?,可得 ，变形为sinAcosA=sinBcosB ?，?cosBasinAacosBsinA?∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形. 2b4222 由a+b=10和?，解得a=6, b=8。 a3解：由 16、（本题8分） 解：由正弦定理 abcab，sinB?， ???2R得：sinA?sinAsinBsinC2R2RsinC?c。 2R2a2bc2所以由sinA?sinBsinC可得：(，即：a?bc。 )??2R2R2R2222又已知2a?b?c，所以4a?(b?c)，所以4bc?(b?c)，即(b?c)?0， 因而b?c。故由2a?b?c得：2a?b?b?2b，a?b。所以a?b?c，△ABC 为等边三角形。 17、（本题9分） 解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)= 3 , ∵△ABC为锐角三角形 2 2 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x－23 x+2=0的两根，∴a+b=23 , 1133 ∴c=6 , SABC?absinC= ×2× = 。 2222 a·b=2, ∴c=a+b－2a·bcosC=(a+b)－3ab=12－6=6, 1133 ∴c=6 , SABC?absinC= ×2× = 。 2222 18、（本题9分） 解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，AB?2 2 2 2 v?t。 4在∴ △AOB中，由正弦定理，得 OBAB?sin?OABsin15， OBvt6?2sin15???6?2而ABvt/44(6?2)2?8?43?8?4?1.74?1，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不 sin?OAB?能接着球.
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点归纳及单元测试题
