第一章 解三角形单元测试
一 选择题:
1.已知△ABC中,A?30,C?105,b?8,则等于 ( ) A 4 B 42 C 43 D 45 2. △ABC中,B?45,C?60,c?1,则最短边的边长等于 ( )
6631A 3 B 2 C 2 D 2
3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°
abc??4. △ABC中,cosAcosBcosC,则△ABC一定是 ( )
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
5. △ABC中,B?60,b?ac,则△ABC一定是 ( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
6.△ABC中,∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定
2S7. △ABC中,b?8,c?83,?163,则?A等于 ( )
A 30 B 60 C 30或150 D 60或120
a?b?c8.△ABC中,若A?60,a?3,则sinA?sinB?sinC等于 ( )
ABC31A 2 B 2 C 3 D 2 9. △ABC中,A:B?1:2,则cosA?( ) C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分,113A B C D 0 32410.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定
11 在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为
( )
A.
4003400米 B. 米 C. 2003米 D. 200米
3312 海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛
和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是 ( )
海里 海里 C. 56 海里 3 海里
二、填空题:
13.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC?2:3:4,那么cosC等于 。 14.在△ABC中,已知b?503,c?150,B?30,则边长a? 。 15.在钝角△ABC中,已知a?1,b?2,则最大边c的取值范围是 。 16.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60,另两边之比为8:5,则这个三角形的 面积为 。
三、解答题:
cosAb4??cosBa3,求边a、b 的长。 17(本题10分)在△ABC中,已知边c=10, 又知
18(本题12分)在△ABC中,已知2a?b?c,sinA?sinBsinC,试判断△ABC的形状。
2
19(本题12分)在锐角三角形中,边a、b是方程x-23 x+2=0的两根,角A、B满足: 2sin(A+B)-3 =0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积。
20(本题12分)在奥运会垒球比赛前,C国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出,根据经验及测速仪的显示,通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍,问按这样的布置,游击手能不能接着球(如图所示)
2高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 3、三角形中的基本关系:sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 2222224、正弦定理:在???C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,R为???C的外接圆的半径, sin则有 abc???2R. sin?sin?sinC①化角为边:a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC; 5、正弦定理的变形公式: abc,sin??,sinC?; 2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC; a?b?cabc④. ???sin??sin??sinCsin?sin?sinC②化边为角:sin??6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解)) 7、三角形面积公式: 111abcr(a?b?c)==S???C?bcsin??absinC?acsin?.=2R2sinAsinBsinC= 2224R2p(p?a)(p?b)(p?c) 8、余弦定理:在???C中,有a?b?c?2bccos?,b?a?c?2accos?, 222222c2?a2?b2?2abcosC. b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c29、余弦定理的推论:cos??,cos??,cosC?. 2bc2ac2ab10、余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量。 ②已知三边求角) 11、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式 设a、b、c是???C的角?、?、C的对边,则: ①若a?b?c,则C?90; ②若a?b?c,则C?90; ③若a?b?c,则C?90. 12、三角形的五心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 222222222 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 第一章 解三角形单元测试参考答案 一、选择题 BABDD CCACA C 二、填空题(4?4) 13?1 14、1003或503 15、5?c?3 16、403 4三、解答题 15、(本题8分) cosAbsinBbcosAsinB ?,可得 ,变形为sinAcosA=sinBcosB ?,?cosBasinAacosBsinA?∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π-2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形. 2b4222 由a+b=10和?,解得a=6, b=8。 a3解:由 16、(本题8分) 解:由正弦定理 abcab,sinB?, ???2R得:sinA?sinAsinBsinC2R2RsinC?c。 2R2a2bc2所以由sinA?sinBsinC可得:(,即:a?bc。 )??2R2R2R2222又已知2a?b?c,所以4a?(b?c),所以4bc?(b?c),即(b?c)?0, 因而b?c。故由2a?b?c得:2a?b?b?2b,a?b。所以a?b?c,△ABC 为等边三角形。 17、(本题9分) 解:由2sin(A+B)-3 =0,得sin(A+B)= 3 , ∵△ABC为锐角三角形 2 2 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x-23 x+2=0的两根,∴a+b=23 , 1133 ∴c=6 , SABC?absinC= ×2× = 。 2222 a·b=2, ∴c=a+b-2a·bcosC=(a+b)-3ab=12-6=6, 1133 ∴c=6 , SABC?absinC= ×2× = 。 2222 18、(本题9分) 解: 设游击手能接着球,接球点为B,而游击手从点A跑出,本垒为O点(如图所示).设从击出球到接着球的时间为t,球速为v,则∠AOB=15°,OB=vt,AB?2 2 2 2 v?t。 4在∴ △AOB中,由正弦定理,得 OBAB?sin?OABsin15, OBvt6?2sin15???6?2而ABvt/44(6?2)2?8?43?8?4?1.74?1,即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在,因此,游击手不 sin?OAB?能接着球.
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点归纳及单元测试题
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