参考答案
类型一
【例1】 (1)∵在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=4, ∴AC=23.
∵PD⊥AC,∴∠ADP=∠CDP=90°. 在Rt△ADP中,AP=2t,
∴DP=t,AD=3t,∴CD=AC-AD=23-3t(0<t<2). (2)在Rt△PDQ中,
∵∠DPQ=60°,∴∠PQD=30°=∠A,∴PA=PQ. ∵PD⊥AC,∴AD=DQ.
∵点Q和点C重合,∴AD+DQ=AC,∴23t=23,∴t=1. (3)当0<t≤1时,S=S1132
△PDQ=2DQ·DP=2×3t·t=2t.
如图,当1<t<2时,
CQ=AQ-AC=2AD-AC= 23t-23=23(t-1). 在Rt△CEQ中,∠CQE=30°,
16
∴CE=CQ·tan∠CQE=23(t-1)×
3
3
=2(t-1), ∴S=S11332
△PDQ-S△ECQ=2×3t·t-2×23(t-1)×2(t-1)=-2t+43t-23,
??3
2
2t(0 ??-332 2t+43t-2 3(1 (4)①如图,当PQ的垂直平分线过AB的中点F时, ∴∠PGF=90°,PG=1 2PQ= 12AP=t,AF=1 2AB=2. ∵∠A=∠AQP=30°, ∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t, ∴AP+PF=2t+2t=2, ∴t=12 . ②如图,当PQ的垂直平分线过AC的中点N时, ∴∠QMN=90°, AN=1 2AC=3, QM=11 2PQ=2 AP=t. 在Rt△NMQ中,NQ=MQ23cos 30°=3t. ∵AN+NQ=AQ,∴3+23 3 t=23t, ∴t=3 4 . ③如图,当PQ的垂直平分线过BC的中点F时, 17 ∴BF=12BC=1,PE=1 2PQ=t,∠H=30°. ∵∠ABC=60°, ∴∠BFH=30°=∠H, ∴BH=BF=1. 在Rt△PEH中,PH=2PE=2t. ∵AH=AP+PH=AB+BH,∴2t+2t=5, ∴t=5 4 . 即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为135 2或4或4. 变式训练 1.解:(1)BP=CE CE⊥AD 提示:如图,连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∠ABC=60°, ∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,∴AB=AC. 又∵△APE是等边三角形, ∴AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°,∴∠BAP=∠CAE, ∴△BAP≌△CAE, ∴BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°. 延长CE交AD于点H. ∵∠CAH=60°, ∴∠CAH+∠ACH=90°, ∴∠AHC=90°,即CE⊥AD. (2)结论仍然成立. 理由:如图,连接AC交BD于点O,设CE交AD于点H. 18 ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, ∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°, ∴AB=AC. ∵△APE是等边三角形, ∴AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°, ∴∠BAP=∠CAE, ∴△BAP≌△CAE, ∴BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°. ∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°, ∴∠AHC=90°,即CE⊥AD. 也可选用图3进行证明,方法同上. (3)如图,连接AC交BD于点O,连接CE交AD于点H, 由(2)可知EC⊥AD,CE=BP. 在菱形ABCD中,AD∥BC, ∴EC⊥BC. ∵BC=AB=23,BE=219, 在Rt△BCE中, EC=(219)2 -(23)2 =8, ∴BP=CE=8. ∵AC与BD是菱形的对角线, ∴∠ABD=1 2∠ABC=30°,AC⊥BD, ∴BD=2BO=2AB·cos 30°=6, 19 ∴OA=1 2AB=3,DP=BP-BD=8-6=2, ∴OP=OD+DP=5. 在Rt△AOP中,AP=AO2 +OP2 =27, ∴S=132 四边形ADPE=S△ADP+S△AEP2×2×3+4×(27)=83. 类型二 【例2】 (1)如图,作DH⊥AB于点H,则四边形DHBC是矩形, ∴CD=BH=8,DH=BC=6. ∵AH=AB-BH=8, ∴AD=DH2 +AH2 =10, ∴AP=AD-DP=10-2t. (2)如图,作PN⊥AB于点N,连接PB. 在Rt△APN中,PA=10-2t, ∴PN=PA·sin∠DAH=3 5(10-2t), AN=PA·cos∠DAH=4 5(10-2t), ∴BN=16-AN=16-4 5 (10-2t), ∴S=S=13146254 △PQB+S△BCP2·(16-2t)·5(10-2t)+2×6×[16-5(10-2t)]=5t-5t+72. (3)当QP⊥BD时,∠PQN+∠DBA=90°. ∵∠QPN+∠PQN=90°,∴∠QPN=∠DBA, ∴tan∠QPN=QNPN=3 4, 4 (10-∴52t)-2t3=3, 5(10-2t)4解得t=35 27 . 经检验,t=35 27是分式方程的解,且符合题意, ∴当t=35 27时,QP⊥BD. (4)存在.理由如下: 如图,连接BE交DH于点K,作KM⊥BD于点M. 当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM, 20
(东营专版)2019年中考数学复习 专题类型突破 专题四 几何变换综合题训练
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