参考答案
类型一
【例1】 (1)∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4， ∴AC＝23.
∵PD⊥AC，∴∠ADP＝∠CDP＝90°. 在Rt△ADP中，AP＝2t，
∴DP＝t，AD＝3t，∴CD＝AC－AD＝23－3t(0＜t＜2)． (2)在Rt△PDQ中，
∵∠DPQ＝60°，∴∠PQD＝30°＝∠A，∴PA＝PQ. ∵PD⊥AC，∴AD＝DQ.
∵点Q和点C重合，∴AD＋DQ＝AC，∴23t＝23，∴t＝1. (3)当0＜t≤1时，S＝S1132
△PDQ＝2DQ·DP＝2×3t·t＝2t.
如图，当1＜t＜2时，
CQ＝AQ－AC＝2AD－AC＝ 23t－23＝23(t－1)． 在Rt△CEQ中，∠CQE＝30°，
16
∴CE＝CQ·tan∠CQE＝23(t－1)×
3
3
＝2(t－1)， ∴S＝S11332
△PDQ－S△ECQ＝2×3t·t－2×23(t－1)×2(t－1)＝－2t＋43t－23，
??3
2
2t（0 ??－332 2t＋43t－2 3（1 (4)①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时， ∴∠PGF＝90°，PG＝1 2PQ＝ 12AP＝t，AF＝1 2AB＝2. ∵∠A＝∠AQP＝30°， ∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t， ∴AP＋PF＝2t＋2t＝2， ∴t＝12 . ②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时， ∴∠QMN＝90°， AN＝1 2AC＝3， QM＝11 2PQ＝2 AP＝t. 在Rt△NMQ中，NQ＝MQ23cos 30°＝3t. ∵AN＋NQ＝AQ，∴3＋23 3 t＝23t， ∴t＝3 4 . ③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时， 17 ∴BF＝12BC＝1，PE＝1 2PQ＝t，∠H＝30°. ∵∠ABC＝60°， ∴∠BFH＝30°＝∠H， ∴BH＝BF＝1. 在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t. ∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5， ∴t＝5 4 . 即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为135 2或4或4. 变式训练 1．解：(1)BP＝CE CE⊥AD 提示：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∠ABC＝60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC. 又∵△APE是等边三角形， ∴AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE， ∴△BAP≌△CAE， ∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°. 延长CE交AD于点H. ∵∠CAH＝60°， ∴∠CAH＋∠ACH＝90°， ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. (2)结论仍然成立． 理由：如图，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H. 18 ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AB＝AC. ∵△APE是等边三角形， ∴AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△BAP≌△CAE， ∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°. ∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°， ∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD. 也可选用图3进行证明，方法同上． (3)如图，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H， 由(2)可知EC⊥AD，CE＝BP. 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴EC⊥BC. ∵BC＝AB＝23，BE＝219， 在Rt△BCE中， EC＝（219）2 －（23）2 ＝8， ∴BP＝CE＝8. ∵AC与BD是菱形的对角线， ∴∠ABD＝1 2∠ABC＝30°，AC⊥BD， ∴BD＝2BO＝2AB·cos 30°＝6， 19 ∴OA＝1 2AB＝3，DP＝BP－BD＝8－6＝2， ∴OP＝OD＋DP＝5. 在Rt△AOP中，AP＝AO2 ＋OP2 ＝27， ∴S＝132 四边形ADPE＝S△ADP＋S△AEP2×2×3＋4×(27)＝83. 类型二 【例2】 (1)如图，作DH⊥AB于点H，则四边形DHBC是矩形， ∴CD＝BH＝8，DH＝BC＝6. ∵AH＝AB－BH＝8， ∴AD＝DH2 ＋AH2 ＝10， ∴AP＝AD－DP＝10－2t. (2)如图，作PN⊥AB于点N，连接PB. 在Rt△APN中，PA＝10－2t， ∴PN＝PA·sin∠DAH＝3 5(10－2t)， AN＝PA·cos∠DAH＝4 5(10－2t)， ∴BN＝16－AN＝16－4 5 (10－2t)， ∴S＝S＝13146254 △PQB＋S△BCP2·(16－2t)·5(10－2t)＋2×6×[16－5(10－2t)]＝5t－5t＋72. (3)当QP⊥BD时，∠PQN＋∠DBA＝90°. ∵∠QPN＋∠PQN＝90°，∴∠QPN＝∠DBA， ∴tan∠QPN＝QNPN＝3 4， 4 （10－∴52t）－2t3＝3， 5（10－2t）4解得t＝35 27 . 经检验，t＝35 27是分式方程的解，且符合题意， ∴当t＝35 27时，QP⊥BD. (4)存在．理由如下： 如图，连接BE交DH于点K，作KM⊥BD于点M. 当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM， 20
(东营专版)2019年中考数学复习 专题类型突破 专题四 几何变换综合题训练
