4．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，1)，点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE.
(1)线段OC的长为________； (2)求证：△CBD≌△COE；
(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD1，CE1，设点E1的坐标为(a，0)，其中a≠2，△CD1E1的面积为S. ①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数解析式； 1
②在平移过程中，当S＝时，请直接写出a的值．
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类型四 图形的旋转变换
(2017·潍坊中考)边长为6的等边△ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DE∥AB，EC＝23. (1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
(2)如图2，将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)
图1 图2
【分析】 (1)先判断出四边形MCND′为平行四边形，可得△MCE′和△NCC′为等边三角形，即可求出CC′，得出CN＝CM，即证四边形MCND′为菱形；
(2)①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD′≌△BCE′，即可得出结论； ②先判断出点A，C，P三点共线，求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论． 【自主解答】
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旋转变换问题的解题思路：(1)以旋转为背景的问题，要根据题意，找准对应点，看清对应边，注意对旋转的性质的理解和运用，想象其中基本元素，如点、线(角)之间的变化规律，再结合几何图形的性质，大胆地猜想结果并加以证明来解决问题；(2)利用旋转变换工具解决问题，要注意观察，通过旋转图形中的部分，运用旋转的性质，将复杂问题简单化．
5．(2018·菏泽中考)问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2 cm，AC＝4 cm. 操作发现：
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________． (2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论． 实践探究：
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．
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类型五 图形的翻折变换
(2017·德州中考)如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF. (1)求证：四边形BFEP为菱形；
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；
②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【分析】 (1)由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
(2)①由矩形的性质得出BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5 cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4 cm，得出AE＝AD－DE＝1 cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方5
程，解方程得出EP＝ cm即可；
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②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1 cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3 cm，即可得出答案．
【自主解答】
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翻折变换问题的解题思路：以翻折变换为载体，考查几何图形的判定和性质问题．一般先作出折叠前、后的图形位置，考虑折叠前、后哪些线段、角对应相等，哪些量发生了变化．然后再利用轴对称的性质和相关图形的性质推出相等的线段、角、全等三角形等，当有直角三角形出现时，考虑利用勾股定理以及方程思想来解决．
6．(2017·兰州中考)如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
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(东营专版)2019年中考数学复习 专题类型突破 专题四 几何变换综合题训练
