专题四 几何变换综合题
类型一 涉及一个动点的几何问题
(2018·长春中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段DC的长； (2)当点Q与点C重合时，求t的值；
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
【分析】 (1)先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论； (2)利用AD＋DQ＝AC，即可得出结论；
(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论； (4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论． 【自主解答】
1．(2018·江西中考)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边
1
△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________；
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；
(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．
类型二 涉及两个动点的几何问题
(2018·青岛中考)已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝ 16 cm，BC＝6 cm，CD＝8 cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.
2
点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t(s)，0＜t＜5. 根据题意解答下列问题： (1)用含t的代数式表示AP；
(2)设四边形CPQB的面积为S(cm)，求S与t的函数关系式； (3)当QP⊥BD时，求t的值；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2
【分析】 (1)作DH⊥AB于点H，则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题； (2)作PN⊥AB于N，连接PB，根据S＝S△PQB＋S△BCP计算即可；
(3)当QP⊥BD时，∠PQN＋∠DBA＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，由此利用三角函数即可解决问题；
(4)连接BE交DH于点K，作KM⊥BD于点M.当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，推出KH＝KM.作EF⊥ABKHBH
于点F，则△AEF≌△QPN，推出EF＝PN，AF＝QN，由KH∥EF可得＝，由此构建方程即可解决问题．
EFBF【自主解答】
2．(2018·黄冈中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第
3
一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．
(1)当t＝2时，求线段PQ的长； (2)求t为何值时，点P与N重合；
(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．
类型三 图形的平移变换
(2017·扬州中考)如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′.
(1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
12
(2)在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，求CB′的长．
13
4
【分析】 (1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACC′A′是平行四边形．再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形ACC′A′是菱形． (2)通过解直角△ABC得到AC，BC的长度，由(1)中菱形ACC′A′的性质推知AC＝AA′，由平移的性质得四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′＝BB′，所以CB′＝BB′－BC. 【自主解答】
平移变换命题的呈现形式主要有：(1)坐标系中的点、函数图象的平移问题；(2)涉及基本图形平移的几何问题；(3)利用平移变换作为工具解题．其解题思路：(1)特殊点法：解题的关键是学会运用转化的思想，如坐标系中图象的平移问题，一般是通过图象上一个关键(特殊)点的平移来研究整个图象的平移；(2)集中条件法：通过平移变换添加辅助线，集中条件，使问题获得解决；(3)综合法：已知条件中涉及基本图形的平移或要求利用平移作图的问题时，要注意找准对应点，看清对应边，注意变换性质的理解和运用．
3．(2018·安徽中考)如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1.正方形ABCD的边长为2，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为( )
5
（东营专版）2019年中考数学复习 专题类型突破 专题四 几何变换综合题训练
