专题四 几何变换综合题
类型一 涉及一个动点的几何问题
(2018·长春中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A,B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒. (1)用含t的代数式表示线段DC的长; (2)当点Q与点C重合时,求t的值;
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式; (4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.
【分析】 (1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论; (2)利用AD+DQ=AC,即可得出结论;
(3)分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论; (4)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论. 【自主解答】
1.(2018·江西中考)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边
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△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.
(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是________,CE与AD的位置关系是________;
(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);
(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.
类型二 涉及两个动点的几何问题
(2018·青岛中考)已知:如图,四边形ABCD,AB∥DC,CB⊥AB,AB= 16 cm,BC=6 cm,CD=8 cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2 cm/s.
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点P和点Q同时出发,以QA,QP为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为t(s),0<t<5. 根据题意解答下列问题: (1)用含t的代数式表示AP;
(2)设四边形CPQB的面积为S(cm),求S与t的函数关系式; (3)当QP⊥BD时,求t的值;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点E在∠ABD的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【分析】 (1)作DH⊥AB于点H,则四边形DHBC是矩形,利用勾股定理求出AD的长即可解决问题; (2)作PN⊥AB于N,连接PB,根据S=S△PQB+S△BCP计算即可;
(3)当QP⊥BD时,∠PQN+∠DBA=90°,∠QPN+∠PQN=90°,推出∠QPN=∠DBA,由此利用三角函数即可解决问题;
(4)连接BE交DH于点K,作KM⊥BD于点M.当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM,推出KH=KM.作EF⊥ABKHBH
于点F,则△AEF≌△QPN,推出EF=PN,AF=QN,由KH∥EF可得=,由此构建方程即可解决问题.
EFBF【自主解答】
2.(2018·黄冈中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第
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一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.
(1)当t=2时,求线段PQ的长; (2)求t为何值时,点P与N重合;
(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.
类型三 图形的平移变换
(2017·扬州中考)如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′,使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA′.
(1)判断四边形ACC′A′的形状,并说明理由;
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(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=,求CB′的长.
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【分析】 (1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACC′A′是平行四边形.再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形ACC′A′是菱形. (2)通过解直角△ABC得到AC,BC的长度,由(1)中菱形ACC′A′的性质推知AC=AA′,由平移的性质得四边形ABB′A′是平行四边形,则AA′=BB′,所以CB′=BB′-BC. 【自主解答】
平移变换命题的呈现形式主要有:(1)坐标系中的点、函数图象的平移问题;(2)涉及基本图形平移的几何问题;(3)利用平移变换作为工具解题.其解题思路:(1)特殊点法:解题的关键是学会运用转化的思想,如坐标系中图象的平移问题,一般是通过图象上一个关键(特殊)点的平移来研究整个图象的平移;(2)集中条件法:通过平移变换添加辅助线,集中条件,使问题获得解决;(3)综合法:已知条件中涉及基本图形的平移或要求利用平移作图的问题时,要注意找准对应点,看清对应边,注意变换性质的理解和运用.
3.(2018·安徽中考)如图,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1.正方形ABCD的边长为2,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处.将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止.记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为( )
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(东营专版)2019年中考数学复习 专题类型突破 专题四 几何变换综合题训练
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