实验三 误差的合成与分配
一、实验目的
通过实验掌握误差合成与分配的基本规律和基本方法。
二、实验原理
（1）误差合成
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，这种误差为函数误差。研究函数误差的内容实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，称为误差合成。 随机误差的合成
随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。 标准差的合成
若有q个单项随机误差，他们的标准差分别为?1，?2，…，?q，其相应的误差传递系数为a1，a2，…，aq。
根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为
???(a?)iii?1q2?2??ijaiaj?i?j 1?i?jq一般情况下各个误差互不相关，相关系数?ij=0，则有
???(a?)iii?1q2 极限误差的合成
在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也很常见。
若已知个单项极限误差为?1，?2，...，?q，且置信概率相同，则按方和根合成的总极限误差为
????(a?)iii?1q2?2??ijaiaj?i?j 1?i?jq系统误差的合成
系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。 已定系统误差的合成
已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为?1，?2，…，?r，相应的误差传递系数为a1，a2，…，ar，则代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为：
???ai?i
i?1r未定系统误差的合成 ①标准差的合成：
若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1,u2,...,us,其相应的误差传递系数为a1,a2,...,as,则合成后未定系统误差的总标准差为
u??(au)iii?1s2?2??ijaiajuiuj 1?i?js当?ij=0，则有
u??(au)iii?1q2 ②极限误差的合成
因为各个单项未定系统误差的极限误差为
ei??tiui i=1，2，…s
总的未定系统误差的极限误差为 e?tu
则可得
e??t?(au)iii?1s2?2??ijaiajuiuj 1?i?js当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且?ij=0，则有
e???(ae)iii?1s2 系统误差与随机误差的合成
当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。 按极限误差合成
若测量过程中有r个单项已定系统误差，s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的误差值或极限误差分别为
?1，?2，…，?r e1，e2，…，es
?1，?2，...，?q
设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为
q?ei????????i?t??????i??R
i?1i?1?ti?i?1?ti?rs22R——各个误差间协方差之和
当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，上式可简化为
????i?i?1r??ei?????i?i?1i?1ss2q2 系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根?????ei?????i? i?1i?12q2按标准差合成
用标准差来表示系统误差与随机误差的合成公式，只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。
若测量过程中有s个单项未定系统误差，q个单项随机误差，他们的标准差分别为u1,u2,...,us,?1,?2,...,?q,
为计算方便，设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为
???u???2ii?1i?1s2qsq2i?R 式中R为各个误差间协方差之和，当合格误差间互不相关时，上式可简化为???u???ii?1i?1s22i 对于n次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为
1q2???ui???i
ni?1i?1
（2）误差分配
测量过程皆包含多项误差，而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。给定测量结果总误差的允差，要求确定各单项误差就是误差分配问题。
1、现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则有
??f???f?2??f?2?y????12????...??2???1
??x1???x2???x1?=a1?1?a222222222?22?...?an2?n2 2=D1?D2?...?Dn Di——函数的部分误差。
若已给定?y，需确定Di或相应?i，使满足
?y?D12?D22?...?Dn2 式中Di可以是任意值，为不确定解，需按下列步骤求解。 按等作用原则
按可能性调整误差 验算调整后的总误差
三、实验内容
1、弓高弦长法简介测量大直径。直接测得弓高h、弦长s，根据h，s间的函数关系利用熟悉的语言编程求解出直径D，以及直径的系统误差、随机误差和所求直径的最后结果。
s2D??h 4hh=50mm,?h=-0.1mm, ?limh??0.05
s=500mm, ?s=1mm, ?lims=?0.1
四、实验数据整理 1、实验程序
h=50;%弓高h=50mm
s=500;%弦长s=500mm
s1=1;%弦长的系统误差s1=1mm
h1=-0.1;%弓高的系统误差h1=-0.1mm D0=(s.^2)/(4*h)+h;
%不考虑测得值的系统误差测得直径D0=1300mm %D=f(s,h)
s2=s/(2*h);%s误差传递系数=5
h2=-(((s.^2)/(4*h.^2))-1);%h误差传递系数h2=-24 d=(s2*s1)+(h2*h1)%系统误差d=7.4000
Y=D0-d%消除系统误差，测得直径的实际长度Y=1.2926e+03 Y=vpa(Y,5)%最后结果Y=1292.6
误差理论与数据处理实验报告(同名22869)
