第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览
1、求函数的定义域：略
2、求函数的表达式：略。如：已知f(x?y,xy)，求f(x,y)
3、计算函数的极限：可以用一元函数极限的知识以及使用两边夹定理。
4、证明多元函数极限不存在：通常是取两条不同的路径，计算出函数在这两条路径上的极限不等即可。也可设y?kx,y?kx2等，证明极限值和k有关。
?xy22,x?y?0?x2?y2如：f(x,y)??
?0,x2?y2?0?5、讨论分界函数在分解点的连续性：只需按照连续的定义，limf(x,y)?f(x0,y0)。
x?x0y?y06、计算函数z?f(x,y)的偏导数：只需将其中一个变量看作常数，对另一个变量求导。 7、计算分界函数在分界点的偏导数：一般需用偏导数的定义做。 zxx?x0y?y0?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
?xzyx?x0y?y0?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)
?y8、复合函数求偏导数口诀：分叉相加、分段相乘、单路全导、多路偏导。 9、隐函数求偏导数：F(x,y)?0?FyFdydy??x或?? dxFydxFx F(x,y,z)?0?FyFyF?z?zdy或 （假设z?f(x,y)）??x,?????xFz?yFzdxFx?F(x,y,u,v)?0方程组两边分别对x,y求偏导数，再用消元法求解即可。（假设?G(x,y,u,v)?0?u?u(x,y),v?v(x,y)
10、全微分的计算：z?f(x,y)?dz?zxdx?zydy
u?f(x,y,z)?du?uxdx?uydy?uzdz
,y) z?f(x全微分存在的判断方法一：zx,zy存在且连续
z?f(x,y)全微分存在的判断方法二：
需要证明lim??0?z?(zx?x?zy?y)??0，
其中?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)，??(?x)2?(?y)2 11、计算二阶偏导数：zxx是zx对x的偏导数，zxy是zx对y的偏导数。
抽象二阶偏导数的计算：以z?f(x?y,xy)为例，要注意f1?表示z对中间变量
u(?x?y)的偏导数，f2?表示z对中间变量v(?xy)的偏导数。而f1?和f2?依然是和z?f(x?y,xy)一样的复合结构。
12、求曲面F(x,y,z)?0在点(x0,y0)的切平面方程：
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0 （1） (Fx(xF(x,0y,0zy)F,0,y0,z0),y00x(0(x0,y0)处的法向量。 y,称为曲面在点0z求曲面F(x,y,z)?0在点(x0,y0)的法线方程：
x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)特殊地，曲面z?f(x,y)在点(x0,y0)的切平面方程的求法是： 设F(x,y,z)?f(x,y)?z，在应用公式（1）即可。最好将结果记住：
fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)?(z?z0)?0
曲面z?f(x,y)在点(x0,y0)的法线方程的求法是：
x?x0y?y0z?z0 ??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1
这是法线 这是切点 这是切平面 ?x?x(t)?13、空间曲线?y?y(t)在点t?t0处的切线方程是：
?z?z(t)?
x?x(t0)y?y(t0)z?z(t0) ??x?(t0)y?(t0)z?(t0)?x?x(t)?空间曲线?y?y(t)在点t?t0处的法平面方程是：
?z?z(t)?x?(t0)??x?x(t0)??y?(t0)?y?y(t0)??z?(t0)?z?z(t0)??0
这是曲线 这是切线 这是切点 这是法平面
第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览
