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求通项公式的几种方法
山东 徐美春 聂洪玉
数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．
一、观察法
已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．
例1 观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．
2122345（1）1，，，； （2）?，，?，．
325381524n?12解：（1）an?； （2）an?(?1)n． 2(n?1)?1n?1
二、由?an?的前n项和Sn与an间的关系，求通项
已知数列?an?的通项公式，可以求出?an?的前n项和Sn?a1?a2?a3?若已知?an?的前n项和Sn，如何求an呢？
∵Sn?a1?a2??an?1?an，Sn?1?a1?a2??an?1(n≥2)，
当n?1时，a1?S1；当n≥2时，an?Sn?Sn?1， ?S1 (n?1)，故an??
S?S (n≥2).n?1?n ?an；反过来，
此处应注意an?Sn?Sn?1并非对所有的n?N?都成立，而只对当n≥2且为正整数时成 立，因此由Sn求an时必须分n?1和n≥2两种情况进行讨论．
例2 设数列?an?的前n项和Sn?3n2?n(n?N?)，求数列?an?的通项公式． 解：当n?1时，a1?S1?3?12?1?2；
当n≥2时，an?Sn?Sn?1?3n2?n?3(n?1)2?n?1?6n?4． 此式对n?1也适用． ?an?6n?4(n?N?)．
点评：利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式an时，要注意a1是否也满足
an?Sn?Sn?1(n≥2)得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．
三、利用公式求通项公式
已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．
例3 等差数列的前n项和记为Sn，已知a10?30，a20?50，求通项an．
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解：∵a10?a1?9d?30， ① a20?a1?19d?50， ②
②－①，得10d?20，d?2．代入①，得a1?12．
?an?2n?10．
四、利用递推关系，求通项公式
根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．
例4 根据下列条件，求数列的通项公式an(n?N?)．
（1） 数列?an?中，a2?23，an?an?1?3(n≥2)； （2） 数列?an?中，a1?1，an?1?an?3n； （3） 数列?an?中，a1?1，an?1?an?an． n?1解：（1）因为a2?a1?3，所以a1?a2?3?3． 又an?an?1?3，所以?an?成等差数列，公差为3． 所以an?3?(n?1)3?3n．
（2）因为an?1?an??3n，所以a2?a1??3?1，a3?a2??3?2，a4?a3??3?3，an?an?1??3(n?1)．
将上面n?1个式子叠加，得an?a1??3(1?2?3?，
?n?1)??3?(n?1)n3 ??(n2?n)，
22333所以an?1?(n2?n)??n2?n?1．
222aan?2（3）由an?1?an?n，变形为n?1?，
ann?1n?1aaa34n?1． ?2?，3?，，n?a12a23an?1n将上面的式子叠乘，得
ann?1． ?a121?an?(n?1)．
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五、两式相减，消项求通项
例5 数列?an?满足a1?2a2?3a3??nan?n(n?1)(n?2)，求an．
解：由题意a1?2a2?3a3??(n?1)an?1?(n?1)n(n?1)(n≥2)， 又a1?2a2?3a3??nan?n(n?1)(n?2)， 两式相减，得nan?3n(n?1)． ?an?3(n?1)．
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又n?1时，也适合上式，?an?3(n?1)．
总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．
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求通项公式的几种方法
