故 V???r2dx???x2dx?
3从而 0.62?0.5?(2?980)xdt???x2dx?
3即 dt??3?0.62?0.52?9803x2dx?
?2?x2?C? 因此 t?3?0.62?0.52?9805 又因为当t?0时? x?10? 所以C?故水从小孔流出的规律为
?3?5?0.62?0.52?9805102?
2?(102?x2)??0.0305x2?9.645? t?3?5?0.62?0.52?980555 令x?0? 得水流完所需时间约为10s?
4? 质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动? 这外力和时间成正比? 和质点运动的速度成反比? 在t?10s时? 速度等于50cm/s? 外力为4g cm/s2? 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？
解 已知F?kt? 并且法t?10s时? v?50cm/s? F?4g cm/s2? 故4?k10? 从而
v50k?20? 因此F?20t?
v 又由牛顿定律? F?ma? 即1?dv?20t? 故v dv?20tdt ? 这就是速度与时间应
dtv满足的微分方程? 解之得
1v2?10t2?C? 即v?20t2?2C?
2 由初始条件有1?502?10?102?C? C?250? 因此
2 v?20t2?500?
当t?60s时? v?20?602?500?269.3cm/s?
5? 镭的衰变有如下的规律? 镭的衰变速度与它的现存量R成正比? 由经验材料得知? 镭经过1600年后? 只余原始量R0的一半? 试求镭的量R与时间t的
函数关系?
解 由题设知?
dR???R? 即dR???dt?
dtR两边积分得
ln R???t?C1? 从而 R?Ce??t (C?eC1)?
因为当t?0时? R?R0? 故R0?Ce0?C? 即R?R0e??t?
又由于当t?1600时? R?1R0? 故1R0?R0e?1600?? 从而??ln2?
221600因此
?ln2tR?R0e1000?R0e?0.0004t3? 3
6? 一曲线通过点(2? 3)? 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分?
求这曲线方程?
解 设切点为P(x? y)? 则切线在x轴? y轴的截距分别为2x? 2y? 切线斜率为
2y?0y ???
0?2xx故曲线满足微分方程?
dyy??? 即1dy??1dx?
yxdxx从而 ln y?ln x?ln C? xy?C ?
因为曲线经过点(2? 3)? 所以C?2?3?6? 曲线方程为xy?6?
7? 小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线)? 设船速为a? 船行方向始终与河岸垂直? 又设河宽为h? 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k)? 求小船的航行路线?
解 建立坐标系如图? 设t时刻船的位置为(x? y)? 此时水速为v?dx?ky(h?y)? 故dx?ky(h?y)dt ? dt 又由已知? y?at? 代入上式得 dx?kat(h?at)dt ? 积分得
x?1kaht2?1ka2t3?C?
23 由初始条件x|t?0?0? 得C?0? 故x?1kaht2?1ka2t3?
23 因此船运动路线的函数方程为
??x?1kaht2?1ka2t3 ?2? 3??y?ay从而一般方程为x?k(hy2?1y3)?
a23
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案12-2.
