2024年统招专升本高等数学
必背知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
y kx b y ax 2 bx c
（2） y
（1） 一般形式的定义域： x∈ R
k x
分式形式的定义域： x≠ 0
（ 3） yx 根式的形式定义域： x≥ 0 （ 4） y log a x 对数形式的定义域： x＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性 当 x1 当 x1
x2 时，恒有 f ( x1 ) x2 时，恒有 f ( x1 )
f ( x2 ) ， f ( x) 在 x1， x2 所在的区间上是增加的。 f ( x2 ) ， f ( x) 在 x1， x2 所在的区间上是减少的。
2、 函数的奇偶性 定义：设函数 y
f ( x) 的定义区间 D 关于坐标原点对称（即若
D ，恒有 f ( x) D ，恒有 f ( x)
f ( x) 。 f (x) 。
x D ，则有
x D ）
(1) 偶函数 f ( x) —— x (2) 奇函数 f ( x) —— x
三、基本初等函数
1、常数函数： y
c ，定义域是 (
u
, ) ，图形是一条平行于
x 轴的直线。
2、幂函数：
y x ， ( u 是常数 )。它的定义域随着 u 的不同而不同。图形过原点。
定义 : y
f ( x)
a x ， ( a 是常数且 a 0 ， a 1
). 图形过（ 0,1 ）点。
4、对数函数 定义 : y
f ( x) log a x ， ( a 是常数且 a
0 ， a 1 ) 。图形过（ 1,0 ）点。
5、三角函数 (1) 正弦函数 :
y sin x ( ,
T 2 ， D ( f ) ) ， f (D )
[ 1,1] 。
(2) 余弦函数 :
y cos x.
( ,
T 2 ， D ( f ) ) ， f (D )
[ 1,1] 。
(3) 正切函数 :
y tan x .
T
， D ( f ) { x | x R, x ( 2k 1) ,k Z} ， f ( D ) (
, ) .
2
(4) 余切函数 :
y cot x .
T
， D ( f ) { x | x R, x k ,k Z} ， f (D ) ( , ) . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数 :
y arcsin x ， D( f )
， f (D ) [ 1,1]
[
, ] 。
2 2 [0, ]。
, ) 。
2 2
(2) 反余弦函数 : (3) 反正切函数 :
y arccosx ， D ( f ) [ 1,1] ， f (D ) y arctanx ， D ( f ) (
,
) ， f (D ) (
(4) 反余切函数 :
y arccotx ， D ( f ) ( , ) ， f ( D ) ( 0, ) 。 极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。 ”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法
（ 1）利用极限的四则运算法则求极限。 （ 2）利用等价无穷小量代换求极限。 （ 3）利用两个重要极限求极限。 （ 4）利用罗比达法则就极限。
二、函数极限的四则运算法则
设 lim u
x
A， lim v B ，则
x
（1） lim (u
x
v)
lim u lim v
x
A
B x
（2）
u v ) lim u lim v AB .
lim (
x
x
x
推论
（ a) lim (C v)
x C lim v ， ( C 为常数 ) 。
x
（ b） lim un
x
(lim u) n
x
0 ).
（3） lim x
u
lim u
x x
v lim v
A ， ( B B
1
（4）设 P( x) 为多项式 P(x)
a0 xn a1x n
an ， 则 lim P( x) P(x0 )
x x0
（5）设 P( x), Q( x) 均为多项式， 且 Q (x)
， 则 lim 0
P( x0 )
xx0 Q(x) Q (x0 ) P(x) 三、等价无穷小
常 用 的 等 价 无 穷 小 量 代换 有 ： 当 x 0 时 ， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arctan x ~ x ， 1 ~ x ， 1 cos x ~ x2 。
2
□ 0 时， sin□ ~□ ，其余类 对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当 arcsin x ~ x ， ln(1 x) ~ x ， e
x
1
似。
四、两个重要极限
重要极限 I
lim
sin x 。 x 0 x
1
它可以用下面更直观的结构式表示：lim
sin□ □ 0
1
□
重要极限 II
lim 1
x
1
x
x
e 。
其结构可以表示为： lim 1
□
1
□
□
e
八、洛必达 (L’Hospital)法则
“ ”型和“
0 0
”型不定式，存在有 lim
f ( x)
g( x)
'
f lim (x) A （或 ）。 x a
x a
g ( x)
'
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 f ( x0
x （点 x0
x lim
x 0
x 仍在该邻域内）时，相应地函数
0 时，函数的增量
y 取得增量 y x) f ( x0 ) 。如果当
y 与自变量 x 的增量之比的极限
y
= lim f ( x0
x 0
x) f (x0)x
= f （ x0） 注意两个符号
x 和 x0 在题目中可能换成其
x
他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式 （1） (C ) （2） ( x ) （3） ( a x )
0 (C为常数 )
x 1 （ 为任意常数）
ax ln a (a 0, a 1) 特殊情况 (ex ) ex
（4） (log a x)
1
log a e
x cos x sin x 1 cos2 x 1 ( x 0, a 0, a x ln a
1) ， ( l nx)
1 x
（5） (sin x) （6） (cos x) （7） (tan x) '
（8） (cot x) '
1 sin 2 x （9） (arcsin x)'
1 ( 1 x 1) 1 x2
1 ( 1 x 1) 1 x2 1 1 x2
（10） (arccosx)'
（11） (arctan x) ' （12） (arc cot x)'
1 1 x 2
2、导数的四则运算公式 （1） [ u( x) v( x)]
u (x) v ( x) u ( x) v(x) u( x)v (x)
（2） [ u( x)v( x)]
（ 3） [ ku]
ku （ k 为常数）
（
4） u(x)
v (x)
u ( x)v( x) u( x)v ( x)
v2 ( x)
y f (u) , u dy du du dx
( x) ，且 f (u) 及 ( x) 都可导，则复合函数
3、复合函数求导公式：设 y f [ (x)] 的导数为
dy
dx
f ' (u). ( x) 。
三、导数的应用
1、函数的单调性
f ' (x) 0 则 f ( x) 在 ( a, b) 内严格单调增加。 f ' (x) 0 则 f ( x) 在 ( a, b) 内严格单调减少。
2、函数的极值
f ' ( x) 0 的点——函数
f ( x) 的驻点。设为 x0
（1）若
x x0 时， f ' ( x) 0 ； x x0 时， f ' ( x) 0，则0
为 f (x) 的极大值点。
f ( x )
（2）若 x
x0 时， f ' ( x) 0 ； x x0 时， f ' ( x) 0 ，则 f ( x0 ) 为 f (x) 的极小值点。
'
（3）如果 f (x) 在 x0 的两侧的符号相同，那么 f ( x0 ) 不是极值点。
3、曲线的凹凸性
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