?x′＝2x，
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?后，曲线C：x＋y＝36变为何种曲
1
?y′＝3y
2
2
1
线，并求曲线的焦点坐标．
解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，
?x′2y′2?x＝2x′，22则?所以4x′＋9y′＝36，即＋＝1.
94y＝3y′，??
x2y2
所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，
94其焦点坐标为(±5，0)．
π
2．(2015·高考江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsin(θ－)－4＝0，求圆C的半径．
4解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为
22?sin θ－cos θ－4＝0，
2?2?
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
ρ2＋22ρ?
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6. π9π
3．(2016·扬州质检)求经过极点O(0，0)，A?6，?，B?62，?三点的圆的极坐标方程．
2?4???解：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)， 故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形， 圆心为(3，3)，半径为32，
圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18， 即x2＋y2－6x－6y＝0，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0，
?π?
即ρ＝62cos?θ－?.
4??
4．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x2＋y2＝4x，
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程． 同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
22??x＋y－4x＝0，
(2)由?
22??x＋y＋4y＝0，??x1＝0，??x2＝2，解得?或?
???y1＝0?y2＝－2.
即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x. 5．(2014·高考天津卷改编)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，求a的值．
解：由ρ＝4sin θ，可得x2＋y2＝4y， 即x2＋(y－2)2＝4. 由ρsin θ＝a，可得y＝a.
设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a. 在Rt△DOB中，易求DB＝所以B点的坐标为?
3
a， 3
3?a，a. ?3?
又因为B在x2＋y2－4y＝0上， 3?22?所以＋a－4a＝0， ?3a?
4
即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3. 36．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲
π
线C的极坐标方程为ρcos?θ－?＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
3??
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
?π?
解：(1)由ρcos?θ－?＝1，
?3?
13
得ρ?cos θ＋sin θ?＝1，
2?2?
13
从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，
22即x＋3y＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．
π
23θ＝2时，ρ＝3，所以N?23，?. ?32?
23?(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为?0，.
3??
3
所以点P的直角坐标为?1，?，
3??
?π?
π??
则点P的极坐标为?23，?，
?36?
π
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．
6
1．(2016·唐山统一考试)已知圆
为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程． ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ22. 2ρ2又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，
cos θ＋sin θcos θ＋sin θ故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．
π
2．(2016·南宁检测)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为?2，?.
3??
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程；
(2)以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
ππ
解：(1)设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ，由余弦定理得4＋ρ2－
33
C：x2＋y2＝4，直线
l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ
?π?
4ρcos?θ－?＝4，
3??
?π?
所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos?θ－?.
3??
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，设圆C上任意一点P. 法一：P(1＋2cos α，3＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，
6＋2cos α?x＝，?x＝3＋cos α，?2?
所以M的参数方程为???(α为参数)，
2sin α??y＝sin α?y＝?2所以点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1. 法二：点C的坐标为(1，3)，圆的半径为2， 则圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4， 设M(x，y)，P(x0，y0)， 所以x0＝2x－5，y0＝2y＋3，① P(x0，y0)在圆(x－1)2＋(y－3)2＝4上，
将①式代入得(x－3)2＋y2＝1.
3．(2016·东北三校模拟)已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标
的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)． (1)用x，y，θ0表示m，n；
π
(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．
4
??x＝ρcos θ，
解：(1)由题意知?
??y＝ρsin θ，
??m＝ρcos（θ＋θ0），且? ??n＝ρsin（θ＋θ0），??m＝ρcos θcos θ0－ρsin θsin θ0，所以?
??n＝ρsin θcos θ0＋ρcos θsin θ0，??m＝xcos θ0－ysin θ0，所以?
??n＝xsin θ0＋ycos θ0.
?m＝22x－22y，(2)由(1)可知?又mn＝1，
22
?n＝2x＋2y，
22??22?x－yx＋y＝1.
2??22??222xy
整理得－＝1.
22x2y2
所以－＝1即为所求方程．
22所以?
??x＝2cos φ，
4．(2016·哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为?(φ为参数)，
?y＝sin φ?
以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点
ππ
的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D?2，?.
33??
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
π11
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B?ρ2，θ0＋?，若A、B都在曲线C1上，求2＋2
2??ρ1ρ2
的值．
??x＝2cos φ，
解：(1)因为C1的参数方程为?
y＝sin φ，??
x22
所以C1的普通方程为＋y＝1.
4
?π?1
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos θ(a为半径)，将D?2，?代入，得2＝2a×，2?3?
所以a＝2，
所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)曲线C1的极坐标方程为
ρ2cos2θ4
＋ρ2sin2θ＝1，
4
即ρ2＝.
4sin2θ＋cos2θ4
所以ρ2， 1＝22
4sinθ0＋cosθ0
4
ρ2 2＝ππ????
4sin2?θ0＋?＋cos2?θ0＋?2?2???4
＝2. sinθ0＋4cos2θ0
4sin2θ0＋cos2θ04cos2θ0＋sin2θ05
所以2＋2＝＋＝.
444ρ1ρ2
1
1
优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：选修44 坐标系与参数方程 第1讲知能训练轻松闯关 含答案
