第五节 三角恒等变换
突破点(一) 三角函数的化简求值
基础联通 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) C(α＋β) S(α－β) S(α＋β) T(α－β) T(α＋β) 2.二倍角公式 S2α C2α sin 2α＝α；变形： cos 2α＝ 1＋cos 2α1－cos 2α变形：cos2α＝，sin2α＝ 222tan αtan 2α＝ 1－tan2α ；变形： ；变形： T2α
三角函数式的化简 [例1] 已知α∈(0，π)，化简： ?cosα－sinα??1＋sin α＋cos α?·2??2
＝________.
2＋2cos α
三角函数的给角求值
1＋cos 20°1
[例2] 求值：(1)－sin 10°（－tan 5°）；
tan 5°2sin 20°
1
(2)sin 50°(1＋3tan 10°)．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点二]计算：1－cos210°
cos 80°1－cos 20°＝( )
A.
2
2
B.12 C.32
D．－
2
2
2.[考点二](1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A.3 B．1＋2 C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
3.[考点一]化简：?sin 2α＋cos 2α－1??sin 2α－cos 2α＋1?sin 4α＝________.
2cos4x－2cos2x＋
1
4.[考点一]化简：2
2tan?π?4－x?＝________.
?sin2?π?4＋x??
突破点(二) 三角函数的条件求值
给值求值问题 [例1] 已知cos?π?6＋α??·cos（π13－α）＝－4，α∈?π?3，π2??. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1
tan α
的值．
给值求角问题 [例2] (1)设α，β为钝角，且sin α＝535，cos β＝－1010，则α＋β的值为(A.3π4 B.5π4 C.7π
4
D.5π7π4或4
2
)
11
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，则2α－β的值为________．
能力练通 1.[考点一]已知sin 2α＝1
3，则cos2??α－π4??＝( ) A.13 B.22
3 C．－3 D．－1
3
2.[考点一]若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010
，则cos β＝( ) A.
22 B.22210 C.2或－10
D.22或210
3.[考点二]若sin 2α＝510π5，sin(β－α)＝10
，且α∈??4，π??，β∈??π，3π2??，则α＋β的值是( A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π9π
4或4
4.[考点二]若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.
5.[考点一]已知α∈?π?2，π??，且sinα2＋cosα2＝6
2. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－3
π5，β∈??2，π??，求cos β的值．
跟踪练习1、
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
3
) tan α＋tan β
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为
1－tan αtan β
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
1
2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－3，则cos 2θ＝( ) 4A.－5
1B.－5
1 C.5
4D.5 11
3.(2015·重庆卷)若tan α＝3，tan(α＋β)＝2，则tan β等于( ) 1A.7
1B.6
5 C.7
5 D.6 1?π?
4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝3，则sin2?－α?＝( )
?4?1
A.18
17B.18
8 C.9
2D.9 5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.
π?π?1??
6.(2017·宁波调研)已知cos?θ＋?＝－3，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin?2θ＋?＝
4?3???________.
7 三角函数式的化简
(1)(2017·杭州模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β)
B.sin α C.cos(α＋2β)
D.cos α
α??α?（1＋sin α＋cos α）·cos－sin?
22??
(2)化简：(0<α<π)＝________.
2＋2cos α
8、 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________. 1
2cos4α－2cos2α＋2
(2)化简：＝________.
?π?2?π?2tan?－α?sin?＋α?
?4??4?
4
9、三角函数式的求值
(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________.
7πsin 2α＋2sin2α?π?317π
(2)已知cos?＋α?＝5，12<α<4，则的值为________.
1－tan α?4?11
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，则2α－β的值为________.
10、 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2
B.
2＋3
2 C.3
D.22－1
ππ?43?
(2)已知sin?α＋?＋sin α＝－5，－2<α<0，则cos α的值为________.
3??
π113
(3)(2017·绍兴月考)已知cos α＝7，cos(α－β)＝14(0<β<α<2)，则tan 2α＝________，β＝________.
突破点(三) 三角恒等变换的综合问题
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题 A[典例] 已知向量m＝(sin x,1)，n＝（3Acos x，cos 2x）(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
2(1)求A；
π1
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标1225π
0，?上的值域． 不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在??24?
5
2020高考数学一轮复习三角函数三角恒等变换题型大全
