A．
3 5B．
7 15C．
2 5D．
11 15【答案】A 【解析】
分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.
2详解：从6个球中一次摸出2个球，共有C6?15种，
2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：
?1,2?,?1,3?,?1,5?,?2,4?,?2,6?,?3,5?,?3,6?,?4,5?,?5,6?9种，
?获奖的概率为
故选A.
点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择． 二、填空题：本题共4小题 13．已知f?x??93?. 15512x?2xf??2017??2017lnx，则f??2017??__________． 2【答案】?2018. 【解析】
分析：对函数f?x?的解析式求导，得到其导函数，把x?2017代入导函数中，列出关于f'?2017?的方程，进而得到f'?2017?的值.
12x?2xf??2017??2017lnx， 22017所以 f'?x??x?2f'?2017??，
x详解：因为f?x??令x?2017，得到f'?2017??2017?2f'?2017??1， 解得f'?2017???2018，故答案为?2018.
点睛：本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.
14．已知复数z??3?4i??2?2i?3?i?1?2i???，那么复数z的模为______.
【答案】5 【解析】 【分析】
由模长性质求解即可. 【详解】
因为z??3?4i??2?2i?3?i?1?2i???,故z?3?4i?2?2i3?i?1?2i?5?2?5. 2?5故答案为：5 【点睛】
本题主要考查模长的性质,若z?
z1z1
z?,则.若z?z1?z2,则z?z1?z2.属于基础题型. z2z215．在区间1,6上随机地取三个不同的整数,则“这三个数是一个钝角三角形的三边长”的概率为______． 【答案】【解析】
分析：由题意，从1,2,3,4,5,6的六个数字中随机取出3个数，共有20种方法，设三角形的三边分别为
??1 4a,b,c?a?b?c?，列举其中满足a2?b2?c2的共有5种，利用古典概型概率的计算公式即可求解．
详解：由题意，在区间1,6中随机地取三个不同的整数，即从1,2,3,4,5,6的六个数字中随机取出3个数，
3共有C6?20种方法，
??设三角形的三边分别为a,b,c?a?b?c?，其中满足a2?b2?c2的共有：
(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,6),(3,5,6)，共有5种，
所以概率为P?51?． 204点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中中正确理解题意，确定基本时间的额总数和得出事件中所包含的基本时间的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
16．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1?p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是__________． 【答案】?,1? 【解析】
分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2，根据题意列出不等式，解出p的值．
?1??3?详解：
每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，不出现故障的概率是p， 且各引擎是否有故障是独立的，
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行； 4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4， 2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行， 2引擎飞机可以正常工作的概率是p2 要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全， 依题意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2， 化简得3p2﹣4p+1＜0， 解得
1＜p＜1． 3故选：B．
点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列?an?满足Sn?2n?an（n?N*）. （1）计算a1，a2，a3，并写出an?1与an的关系；
（2）证明数列?an?2?是等比数列，并求出数列?an?的通项公式.
37?1?【答案】（1）a1?1，a2?，a3?；2an?1?an?2；（2）证明见解析，an????42?2?【解析】 【分析】
n?1?2
（1）代入n?1，n?2和n?3，计算得到a1，a2，a3，通过an?1?Sn?1?Sn，得到an?1与an的关系； （2）根据（1）中所得an?1与an的关系，得到比数列，写出其通项，再得到an的通项. 【详解】
（1）由已知可得，
an?1?21?，并求出a1?2的值，从而得到?an?2?是等
an?22n?1时，S1?2?a1，即a1?1， n?2时，S2?4?a2?a1?a2，即a2?3， 2n?3时，S3?6?a3?a1?a2?a3，即a3?由Sn?2n?an（n?N*），得
7. 4Sn?1?2?n?1??an?1，
两式相减，得an?1?2?an?1?an， 即2an?1?an?2.
（2）证明：由（1）得2?an?1?2??an?2，且a1?2??1，
an?1?21?， ∴
an?22∴数列?an?2?是等比数列，公比为
1，首项为?1， 2?1??1?所以an?2??1???????， ?2??2??1?∴an?????2?【点睛】
本题考查根据Sn和an的关系求递推关系，通过递推关系构造法求数列通项，证明数列为等比数列，属于简单题.
18．用适当方法证明：已知：a?0，b?0，求证：【答案】见解析 【解析】
分析：直接利用作差法比较n?1nn?2.
ab??a?b． baba?和a?b的大小得解. abbab?aa?b1??1??a?b??? ??a?b??详解：??ababba???a?b??a?b
?a?b ab??所以a?b??2a?bab??0.
ba??a?b. ab点睛：（1）本题主要考查不等式的证明，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)不等式的证明常用的有比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，本题运用的是比较法，也可以利用综合法.
19．在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a?3，b?26，B?2A. （Ⅰ）求cosA及边c的值； （Ⅱ）求cos(B??6)的值.
63?22. ，c?3或c?5；(2)
63【答案】 (1)cosA?【解析】
分析：（1）根据正弦定理和二倍角公式，求得cosA，在利用余弦定理求得边长c的值； （2）由二倍角公式求得cosB，再利用三角恒等变换求得cos(B?详解：（Ⅰ）?ABC中，a?3，b?26， ∴
?6)的值.
326326326，又B?2A，∴，， ???sinAsinBsinAsin2AsinA2sinAcosA6； 36， 3解得cosA?又a2?b2?c2?2bccosA，9?24?c2?2?26?c?c2?8c?15?0，解得c?3或c?5；
（Ⅱ）∵B?2A，∴cosB?cos2A?2cosA?1?∴sinB?21， 322； 3????1?32213?22cosB??cosBcos?sinBsin∴. ???????6?6632?326点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
20．?ABC中，三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知,,成等差数列． (Ⅰ)求证：sin2B?sinAsinC； (Ⅱ)求角B的取值范围．
【答案】 (Ⅰ)见证明； (Ⅱ) (0,] 【解析】
111abcπ3
江西省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析
