第七章 圆
第二十三讲 圆的有关性质 宜宾中考考情与预测
年份 2019 2018 2017 2016 2015 近五年中考考情 考查点 题型 题号 圆周角定理 填空题 圆周角定理 填空题 圆的性质 圆的性质 垂径定理 填空题 填空题 填空题 15 15 15 13 14 2020年中考预测 分值 3分 3分 3分 3分 预计2020年宜宾中考考查内容为圆的性质，以填空题或选择题的形式出现. 3分 宜宾考题感知与试做
1.（2019·宜宾中考）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝23，则⊙O的面积是4π.
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2. （2018·宜宾中考）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC
EF3CG5于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝ Ｗ.
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中考复习
宜宾中考考点梳理
与圆有关的概念及其性质
1.圆的定义
（1）到定点距离 相等 的所有点构成的图形叫做圆；
（2）在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 Ｗ.
2.圆心确定圆的 位置 ，半径的长度确定圆的 大小 Ｗ.圆心相同的圆叫做同心圆，半径相等的两个圆称为等圆.
3.圆的有关概念
（1）弦：连结圆上任意两点的线段；
（2）直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍；
（3）弧：圆上任意两点间的部分，小于半圆周的圆弧叫做 劣弧 ，大于半圆周的圆弧叫做 优弧 Ｗ.
【温馨提示】圆上任一条弦都对应两条弧.
4.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的 直线 都是它的对称轴. （2）圆是中心对称图形，对称中心是 圆心 Ｗ.
垂径定理及其推论
5.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 6.垂径定理的推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦； （4）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 Ｗ. 7.垂径定理及其推论的延伸
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根据圆的对称性，如图，在以下五条结论中：①AC＝BC；②AD＝BD；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”.
8.垂径定理的应用 用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段（弦心距），则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半弦构成直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a、半径r、弦心距d及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”.
弦、弧、圆心角之间的关系
9.定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧 相等 ，所对的弦 相等 Ｗ.
10.推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角 相等 ，所对的弦 相等 ；在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角 相等 ，所对的弧 相等 Ｗ.
圆周角定理
11.圆周角：顶点在 圆 上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角.
12.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半 ；相等的圆周角所对的弧 相等 .
13.推论： （1）90°的圆周角所对的弦是直径，半圆或直径所对的圆周角是直角；
（2）圆内接四边形的对角互补，它的任意一个外角等于这个角的 对角 Ｗ.
1.（2019·凉山州中考）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O的半径是2.
2.（2019·广元中考）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BD、BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为C
A.25 B.4 C.213 D.4.8
（第2题图） ,（第3题图） ,（第4题图）
3.（2019·株洲中考）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连结AD，则∠BAD＝20°.
4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于（ D ） A.180°－2α B.2α
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C.90°＋α D.90°－α
5. 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示的图尺可读出sin ∠AOB的值是（ D ）
5774A. B. C. D. 88105
6.如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝ 60 °.
中考典题精讲精练
有关圆心角与圆周角的计算
命题规律：考查对圆心角、圆周角定理的理解和运用，属于基础题目，以填空题、选择题的形式出现. 【典例1】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（ A ）
A.58° B.60° C.64° D.68°
【解析】根据半径相等，得出OC＝OA，进而得出∠C＝32°，利用圆周角定理的推论得出∠B＝58°.
垂径定理
命题规律：考查垂径定理的应用，题目常与勾股定理结合，是中考的热点，以填空题、选择题的形式出现.
【典例2】如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C两点，则BC＝（ A ）A.63 B.62 C.33 D.32 【解析】设OA与BC相交于点D，连结OB、AB. ∵AB＝OA＝OB＝6，∴△OAB是等边三角形. 又根据垂径定理可得OA 垂直平分BC， ∴BD＝DC，AD＝DO. 利用勾股定理可得BD＝
62－32＝33，
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∴BC＝63.
圆的性质的综合运用
命题规律：考查利用圆的性质解决问题的能力，题目以解答题的形式出现较多.
【典例3】（2019·攀枝花中考）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法）；
如图2，设AB是该残缺圆⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAB的角平分线AD交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交AC的延长线于点E.
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若DE＝3，AC＝2，求残缺圆的半圆面积.
【解答】解：（1）如图，点O即为所求.
（2）①证明：图2中，连结OD交BC于点F. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠DAB. ︵︵
∴CD＝BD.∴OD⊥BC. ∴CF＝BF，∠CFD＝90°.
∵DE是切线，∴DE⊥OD.∴∠EDF＝90°. ∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°. ∴四边形DECF是矩形.∴∠E＝90°.∴AE⊥DE. ②∵四边形DECF是矩形，∴DE＝CF＝BF＝3. 在Rt△ACB中，AB＝22＋62＝210，
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∴残缺圆的半圆面积为·π·（10）2＝5π.
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, 1.（2019·益阳中考）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是D
A.PA＝PB
B.∠BPD＝∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
2.（2019·重庆中考A卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD.若∠C＝50°，则∠AOD的度数为C
A.40° B.50° C.80° D.100°
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中考数学复习第23讲 圆的有关性质 (2)
