一类半线性椭圆方程组正解的存在性与唯一性
赵建清
【摘 要】摘 要:文中利用不动点定理和Leray-schauder度性质,证明了一类半线性椭圆方程组在洞型区域内正解的存在性与唯一性,并将有界洞型区域扩展到更一般的情形.
【期刊名称】通化师范学院学报 【年(卷),期】2013(034)008 【总页数】3
【关键词】关键词:不动点定理;Leray-schauder度;正解;洞型区域
源于文献[1，2]的启发，本文主要采用不动点定理及Leray-schauder度性质考察如下方程组在一定条件下正解的存在性，不存在性和唯一性等性质.同时对[3]的结果进行了修改和完善.
-Δu=g(x，v)，-Δv=f(x，u)，x∈Ω; u=v=0，x∈Γ1，u=v=b，x∈Γ2 (1)
-Δu=f(x，u，v)，-Δv=g(x，u，v)，x∈Ω; u=v=a，x∈Γ1，u=v=b，x∈Γ2 (2)
-Δu=g(x，v)，-Δv=f(x，u)，x∈Ω; u=v=b，x∈Γ2，u=v=a，x∈Γ1 (3)
其中Ω?Rn是有界洞型区域，内边界为Γ2，外边界为Γ1，且?Ω=Γ1∪Γ2光滑，a，b>0是常数.
1 两个引理
假设如下条件成立:
(H1)f，g：R→R当n=1时连续，且当n≥2时具有指数β∈(0，1]的局部Holder连续性;
(H2)f(x，0)，g(x，0)≥0且t∈[0，∞)→f(x，t)，g(x，t)单调非减， 定义 (H3)? (H4)?
(H5)t∈(-∞，0]→f(x，t)单调非增，t∈(-∞，0]→g(x，t)单调非增; (H6)?
(H7)f(x，s，t)与g(x，s，t)关于(x，s，t)在上非负局部Holder连续; (H8)0≤f(x，s，t)，g(x，s，t)≤c，c为正常数; 一致于 一致于
(H11)f(x，s，t)，g(x，s，t)分别关于s，t单调增;
(H12)f(x，u，v)，g(x，u，v)为Ω×[0，c]2→(0，+∞)上关于u，v的Lipschitz连续函数，各自Lipschitz系数为L1，L2，且其中λ1为算子-Δ在零Dirichlet边值条件下的第一特征值.
设h为方程Δh=0，x∈Ω;h|Γ1=0，h|Γ2=1的解，则由强极值原理知，在Ω上，0 显然，若问题(4)有非负解，则问题(1)有正解．这里Ω∈C2，α，α∈(0，1]． 让Ω是一个有界域，且?Ω∈C2，α，对某些α∈(0，1}.对我们定义函数其中G是算子-Δ在Ω上有Dirichlet边值条件的格林函数. 引理1 若且若n≥ (1)若n=1，则若n≥2，则 (2)若v≥0且v不恒为0，则存在c>0使得对有w(x)≥cd(x，?Ω). 证明 (1)这是一个典型结果.有-Δw=v，x∈Ω;w=0，x∈?Ω. (2)的结果可从最大值原理和边界点引理得到. 让定义相关于域Ω的挠率函数， -Δψ=1，x∈Ω，ψ=0，x∈?Ω. 引理2 f，g满足(H1)，(H2)，(H5)和(H6)，则存在常数M>0有max(‖u‖∞，‖v‖∞)≤M，对所有问题-Δu=tg(x，v+bh)，x∈Ω，-Δv=tf(x，u+bh)，x∈Ω，u=v=0，x∈?Ω，t∈[0，1](1.1t)的解成立. 证明 令(u，v)是问题(1.1t)的一个典型解.(H2)，(H5)和最大值原理表明u，v≥0.根据(H6)存在A>0，使得F(2‖ψ‖∞G(t))≤对t≥A且A充分大使得A>b，若‖u‖∞≤A，则 ≤ ≤ ≤F(2A)‖ψ‖∞. 对因而‖v‖∞≤‖ψ‖∞F(2A).同理，若‖v‖∞≤A我们得到‖u‖∞≤‖ψ‖∞G(2A). 假设若‖u‖∞>A，‖v‖∞>A，使用相同的条件我们得到 ‖u‖∞≤‖ψ‖∞G(2‖v‖∞)，‖v‖∞≤ ‖ψ‖∞F(2‖u‖∞)，‖v‖∞≤‖ψ‖∞F(2‖u‖∞)≤ ‖ψ‖∞F(2‖ψ‖∞G(2‖v‖∞))≤ ， 从而得到‖v‖∞≤0这与‖v‖∞>A相矛盾. 2 主要结果 定理1 f，g满足(H1)，(H2)，(H3)和(H4).则问题(1)有至少一个正解若n≥2时(特别若n=1).
一类半线性椭圆方程组正解的存在性与唯一性
