高中数学《函数单调性和最值》精选试题(详解)——精品文档

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高中数学《函数单调性和最值》精选试题（详解）

考点一、单调性

1．定义：对于函数y?f(x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x1,x2，当x1?x2时，

都有f(x1)?f(x2)(或f(x1)?f(x2))，那么就说函数y?f(x)在这个区间上是增（或减）函数。

2．证明方法和步骤：

（1）.定义法(要求高一、高二会、高三不做要求） （2）.导数法

3．复合函数的单调性：复合函数y?f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：

y?f(u) u?g(x) y?f(g(x)) 增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

4．单调性的应用

(1).比较大小(2).解不等式；(3).求最值（值域）

精选试题

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

A．y=2x＋1

2

（ ）

2

B．y=3x＋1

2

C．y=

2 xD．y=2x＋x＋1

2．函数f(x)=4x－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，

则f(1)等于 （ ） A．－7 B．1 C．17 D．25 3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ） A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5) 4．函数f(x)=

ax?1在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 （ ） x?211A．(0，) B．( ，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

221

5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）

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A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一的实根

22

6．已知函数f(x)=8＋2x－x，如果g(x)=f( 2－x )，那么函数g(x)

（ ）

A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减

函数

C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增

函数

7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式

|f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A．(－1，2) B．(1，4) C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋

∞）

8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)

＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ） A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1) C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9) 9．函数f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)的递增区间依次是

（ ）

A．(??,0],(??,1] B．(??,0],[1,??) C．[0,??),(??,1] D[0,??),[1,??) 10．已知函数f?x??x2?2?a?1?x?2在区间???,4?上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3 11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则

（ ）

A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)

＜f(3) 二、填空题：

13．函数y=(x－1)的减区间是___ _． 14．函数y=x－21?x＋2的值域为__ ___． 15、设y?f?x?是R上的减函数，则y?f2

-2

?x?3?的单调递减区间为 .

16、函数f(x) = ax＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ． 三、解答题：

2

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17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f( （1）求f(1)的值．

（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(

3

x) = f(x)－f(y) y1) ＜2 ． x18．函数f(x)=－x＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减

函数？试证明你的结论． 19．试讨论函数f(x)=1?x2在区间［－1，1］上的单调性．

20．设函数f(x)=x2?1－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．

21．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取

值范围．

x2?2x?a22．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］

x1（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；

2（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

3

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参考答案

一、选择题： CDBBD ADCCA BA

二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.?3,???， ???,??

2??1??三、解答题：17.解析：①在等式中令x?y?0，则f(1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则f(36)?f(36)?f(6),?f(36)?2f(6)?2. 6故原不等式为：f(x?3)?f()?f(36),即f[x(x＋3)]＜f(36)， 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

1x?x?3?0?1153?3?故不等式等价于：??0?0?x?.

2?x??0?x(x?3)?3618.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

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设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x1＋1， f(x2)=－x2＋1．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋

x2232

)＋x2］．

42x2232

)＋x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

423

∴函数f(x)=－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．

f(x1)－f(x2)=1?x1－1?x2=

2222(1?x1)?(1?x2)1?x1?1?x22222=

(x2?x1)(x2?x1)1?x1?1?x222

∵x2－x1＞0，1?x1?1?x2＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)． 当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．

故f(x)=1?x2在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=1?x2在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x1、x2∈0，＋??且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)=x1?1－x2?1－a(x1－x2)=

22x1?x22222－a(x1－x2)

x1?1?x2?14

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=(x1－x2)(

x1?x2x1?1?x2?122－a)

(1)当a≥1时，∵

x1?x2x1?1?x2?122＜1，

又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) ∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋??上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中

2a，满足f(x1)=f(x2)=1 1?a2x1?x2x1?1?x2?122＜1利用了x1?1＞|x1|≥x1;x2?1＞x2；

22③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．

21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数

∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)

???1?m?3??2?m?1?2?12312??1∴??2?1?2m?2,即???m? 解得??m?，∴m的取值范围是(－,)

22323?m?1?1?2m?2?2?m??3?22.解析： (1)当a=

11时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞) 22xx?x2111=(x2－x1)＋1=(x2－x1)(1－) ?x1?2x1x22x1x22x22x1设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋

∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－

1＞0，则f(x2)＞f(x1) 2x1x2可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=

7． 2x2?2x?a2

(2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=＞0恒成立?x＋2x＋a＞0恒成立

x22

设y=x＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．

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