大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
相关性不定 D. ?1,?2??m中一定有零向量由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关12、若矩阵A4?5有一个3阶子式为0，则 C 。A.秩(A)≤2 B. 秩(A)≤3 C. 秩(A)≤4 D. 秩(A)≤5 由矩阵秩的性质可知：R?A4?5??min{4,5}，而有一个3阶子式为0，不排除4阶子式不为0。
a1b?1001c?1001d三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式
?100。 解：
a?1001b?1001c?1?001d?0?1001?abb?10ad1?cda1c?1001d?1?ab?10ac?101?d1?ab?10ac?1ad1?cd0?1?14、设A?0??0?0210???1，??1??1?ab?1?(1?ab)(1?cd)?ad?abcd?ab?cd?ad?1?1?C?3??2?2??1?0??，
?1B???22??3?，AYB?C，求矩阵Y。 解：
Y?ACB?1?1?1?????11??1???13????2???22????31??2?0???12?????1?1???5??10??。15、已知三阶方阵A??01???0??3??2110?1??1，且??1??|A|??1,A可逆，AB?A?E?2A?AB?E，计算矩阵B。解：
?1 B?A?A?1??0??0?110?1??1??1?0????1???0?110?2??0??1?0????1???02001??16、求0?0???3?矩阵2??7?2??101?35?3???1?3秩，并找出一个最高阶非零子式。 解：的??1?8??13?4?42??? 最高阶非0?7119?7R(A)?3，???0000?1????32?1?3?1??13?4?42??13?4?42???????2?131?3?2?131?3?0?7119?7????????705?1?8??705?1?8??0?213327?22???????共3页第41页
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零子式是?1,?,2??x?3x?14?2x1?x2?。17、写出方程组?x?3x?24的通解。 解?x1?2x25?x?x?2x?x?3?1234?10334???01?1?2?1????00?6?3?6????100321???010?320???001121???3??21?111??1121????121?12?01?1?2?1??????11213??0?1?5?1?5??????x1=-32x3?1???x2=32x3?x=-12x?13?3
??32??1?????320?????(c?R)?X?c??12??1???1?????????0?18、已知R3中的向量组?1,?2,?3 线性无关，向量
组
b1??1?k?2,b2??2??3，
b3??3?k?1线性相关，求k值。解：
?1b1??2b??b????1?1?k233???1?k?3????2?12??2???3???3?k?3??????k1????2?2????2??3?03，由?1,?2,?3 线性无关，得
1??1?k?3?0????1k??2?0?????03?2?1???k??0?011k???1??0?2???1????3???0，因为b1,b2,b3相关，所以?1,?2,?3有非零解，故系数行列???式=0，得k??1。四、证明题(每小题5分，共10分)19、设A,B为n阶方阵，若AB?0，则秩(A)?秩(B)?n。证明：因为线性方程组Ax?0，当秩A?r时，基础解系为n?r个，由
AB?A(b1,b2,?,bn)?(Ab1,Ab2,?,Abn)?0则有Abj?0(j?1,2,?,n)，即B的列均为Ax?0的解，这些
列的极大线性无关组的向量个数≤n?r,即秩(B)?n?r，从而秩(A)?秩(B)?n。20、如果?1,?2,?3,?4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的k1,k2,k3,k4，使得
k1?1?k2?2?k??k??0。 证明：因为?1,?2,?3,?4线性相关，所以存在一组“ 不全为零”的数3344k1,k2,k3,k4，使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0， 如果k1?0，则k2?2?k3?3?k4?4?0，且由于
k2,k3,k4不全为零，所以?2,?3,?4线性无关，与题设矛盾，所以k1?0；同理，可证明k2?0,k3?0,k4?0。第三套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)已知
125836，Aij表示它的元素aij的代数余子式，则与aA21?bA22?cA23对应的三阶行列9三阶行列式D?47共3页第42页
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式为
1a72b83c9。 由行列式按行按列展开定理可得。2、A,B均为n阶方阵，A?B?3，则
12AB?11=()n。由于： 1AB?1?(1)nAB?1?(1)nAB?12222?3?1n?()。3、A? ?12?0??10400??0，则?3??0??0?1???1?1?(A?2E)=?12??0?01200??0。由于?1????3????1??0??0400??1??0?20????03??0100????0???1????1??1??0?0200??0?1???1?1???12??0?0120。4、
向量组?1?(1,2?,2?3)?,123?1?2121?10421?140??(31?,线,性21 ) ,无 ( 2关,0。, 5因)为：
2?1?0。5、设6阶方阵A的秩为5，?,?是非齐次线性方程组?40?050?4??0?10Ax?b的两个不相等的解，则Ax?b 的通解为X?k???????。由于R(A)?5，所以Ax?0的
?1??2???基础解系只含一个向量：???，故有上通解。6、已知x??1?为A??5??1??1?????1ab2??3的特征向量，??2??则
?2?Ax??x?5???1??1aba??3;b?0。
2??1??1???1????????1??????????31??1?2?a????a??3。 ????????????????????2???1???1??1?b??????b?0 二
?a11?A?a21??a?31、a12a22a32单项选择题(a22a12每小a23题4分100，共24分010)7、
a13??a21??a23,B?a11???a?aa33?11??31a32?a12??0??a13,P1?1????0a33?a13??0??1??0，P2??0??11???0??0?，则 1??D 。A．AP1P2?B B．AP2P1?B C．P2P1A?B D．P1P2A?B 对A作行变换，先作P2，将第一行加到第三行上，再作P1，交换一二行。8、n元齐次线性方程组AX?0有非零解的充分必要条件是 B 。A．R(A)?n B．R(A)?n C．R(A)?n D．R(A)?n齐次线性方程组AX?0有非零解的定理。9、已知m?n矩阵A的秩为n?1，?1,?2是齐次线性方程组AX?0的两个不同的解，k为任意常数，则方程组AX?0的通解为 D 。A．k?1 B．k?2
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C．k(?1??2) D．k(?1??2)基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D可保证不等于零。10、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是 B 。A.秩(A)=秩(B) B. A=B C.
A?B D. A与B有相同的特征值 相似不是相等。11、若n阶方阵A的两个不同的特征值?1,?2所
对应的特征向量分别是x1和x2，则 B 。A. x1和x2线性相关 B. x1和x2线性无关 C. x1和
x2正交 D. x1和x2的内积等于零 特征值，特征向量的定理保证。12、n阶方阵A具有n个
线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的 C 条件。A.充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7?20?2分，共42分)13、设A与B均为3阶方阵，且A?02E为3阶单位矩阵，AB?E?A?B，??10?1???0 ；
?1??求B。
解：因为AB+E=A2+B ?(A?E)B?(A?E)(A?E)
?2?1?A?E??0?1?02?10?1??1??0???0?11?1???010?1??0?0??，A?E?1 , A?E可逆所以
?3?B?A?E??0?1?030121?x1?x2?2x3??k?1???2k。14、满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有?x1?2x2?kx3?k0??2x?x?k2x?0232??1??1?无穷多解？ 解：?1?2?2kk2?k??2k?~0???1??0?0?1122k?2?4?1k?k??2k?k?~2k???1??0?0?1102k?2(k?2)(k?3)??2k?k?
?k(k?3)??k当k?2且k??3时，方程组有惟一解。当k?2时方程组无解。当k(k?3)?0时方程组
?1?r(A)?r(B),当k?0时?1?2?1212000??1??0?~?0?0???01102221210??0? 0??2?393??1??9?~?0?0???011?12?553??1??6?~?0??6???01102?503??6?这时方0???1?这时方程组只有零解。当k??3时，?1?2?TTTT程组有无穷多解。15、向量组?1?(1,3,2,0),?2?(7,0,14,3),?3?(2,?1,0,1),?4?(5,1,6,2),
?5?(2,?1,4,1)，（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关
T组线性表示。解：R(?1,?2,?3,?4,?5)?3， ?1,?2,?3为一个极大无关组，?4?23?1?13?2??3，
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?0?111??5???1??2?0?316、设矩阵A??033??0??3|A?3E|?1001?30000y?31010000??00? 的一个特征值为3，求y。解：y1??12??0??10??8 (2?y）?0 ，? y?2.17、计算矩阵?4?1?1??1?1??13??0002??1300??0的特征值与?2??特征向量。 解：|A??E|??41?(2??)?(?1??)(3??)?4??(2??)(1??)2，所以
得：特征值?1??2?1 ，解方程组?A?E?X?0，只得一个对应特征向量为： ?3?2，??1,?2,1?；解方程组
T?A?2E?X22?0，可得特征向量为
2?0,0,1?。18、当
正
定
二
次
Tt为何值时，
f(x1,x2,x3)?x1?4x2?4x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3为型？ 解：
?1?f?t???1?t42?1??2?4???1?0;1tt4?4?t2?0;1t?14?t2t42?11t4?t2?12?t??12?3t3t)?(1?)22?04?0??(2?t)2?2(2?t)(1?t)?0解不等式：
0?2?t(t2?。四(每小题10分)19、设向量?0t、证明题??2?5分，共1b能由?1,?2,?3这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组?1,?2,?3线性无关。证明：（反
证法）如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数?1,?2,?3使?1a1??2a2??3a3= （1），由已知设b??1?1??2?2??3?3，结合（1）式得
b?0?b?(?1??1)a1?(?2??2)a2?(?3??3)a3
（2）
由于?1,?2,?3不完全为零，则?1??1，?2??2，?3??3必与?1,?2,?3不同，这样b已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。20、设?1,?2,?3是n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记???1??2??3，证明?不是A的特征向量。 证明：假设A?????A??A?1??2?????A1??A2??A3??1?1??3?2?2??3，?3?
又：
???1???2??A3????11?????????1??1???????2??2???????3??3?0， 从而：
由于特征值各不相等，所以?1,?2,?3线性无关，所以的
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