大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
??2x1?x2?3x3?0??x1?3x2??1??2x2?2x3?4?3x1?4x2?x3?9.?以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1).解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,即
方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).29.解 对矩阵A施行初等行变换
?1??0????0??0?2039?102606832??1???2??0????0?2????2??0?2300?1200086?21A
2??1???3??0????0?2???7??0?2300?120008302???3??1??0?=B.(1)秩(B)=3,所
以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)30.解 A的属于特征值λ=1的2个
?25/5???1=??5/5???0??TT
线性无关的特征向量为ξ1=(2,-1,0), ξ2=(2,0,1).经正交标准化,得η
,
η
?25/15???2=?45/15???5/3??.λ=-8的一个特征向量为ξ
?1???3=?2?????2?,经单位化得η
?1/3???3=?2/3?.????2/3?所求正交矩阵为
T=
?25/5???5/5?0?215/1545/155/31/3??2/3???2/3?.对角矩阵
?1?D=?0??00100??0?.(也可取??8??25/5?T=?0??5/5215/15?5/3?45/151/3??2/3???2/3?.)
31.解 f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.设
?y1?x1?2x2?2x3??x2?x3?y2???y3?x3??x1?y1?2y2?y2?y3即?x2??x?y3?3?1?C=?0??0?2100??1??1?, ,因其系数矩阵可逆,故此线性变
换满秩。经此变换即得f(x1,x2,x3)的标准形
y12-2y22-5y32 .四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
2
3
-1
2
32.证 由于(E-A)(E+A+A)=E-A=E,所以E-A可逆,且(E-A)= E+A+A.33.证 由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.(1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解。(2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即 (l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ
2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而
l0=0 .所以
η0,η1,η2线性无关。一、填空题(每小题4分,共24分)若a1ia23a35a5ja44是五阶行列式中带正号的一项,则i?1,j?2。令i?1,j?2,?(12354)??(13524)?1?3?4,取正号。若将n阶
(?1)Dn行列式D的每一个元素添上负号得到新行列式D,则D= 。即行列式D的每一行都有一
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个(-1)的公因子,所以D=
(?1)Dn。3、设A???1?01??1100, 则=A??1??0100??。 1??12A???01??1??1??01??1???1??02??13,A???1??02??1??1??01??1???1??03?设A为5 阶方阵,A?5,?,?可得4、
1?nn?1则5A?且
T5n?1。 由矩阵的行列式运算法则可知:5A?5A?5
T。5、A为n阶方阵,AAT?E已,
知而
条
件 0x2A?0,则A?E?T
20 。由::0??y?3??AA?E?AA?AA?A?E?1?A??1,?A??1A?E?A?AAT?AE?AT?2?6、设三阶方阵A?0?AA?E??A?E?A?E?0。??0?可逆,则x,y应满足条件3x?2y2A?00a11a21a31a12a22a32。 可逆,则行列式不等于零:
0x20y?2?(3x?2y)?03a13a23?M?0a33?3x?2y。二、单项选择题(每小题4分,共24分)7、设
,则行列式
?2a11?2a31?2a21?2a12?2a32?2a22?2a13 A 。A.8M?2a33??2a23 B.2M
C.?2M
?2a11?2a31?2a21 D.?8M
?2a133?2a12?2a32?2a22a11a21a12a32a22a13a23a11a31a12a22a32a13a23?8Ma33?2a33???2?a31?2a23a33???8?(?1)a218、设n阶行列式Dn,则Dn?0由于
的必要条件是 D 。A.Dn中有两行(或列)元素对应成比例 B.Dn中有一行(或列)元素全为零 C.Dn中各列元素之和为零 D.以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意
?1?1?1同阶方阵A,B,下列说法正确的是 C 。A.(AB)?AB B.A?B?A?B C.
(AB)TTT?BA D.AB?BA 10、设A,B为同阶可逆矩阵,??0为数,则下列命题中不正确的是
B 。A.(A)则,就有(?A)C.an?1?1?1?A B.(?A)1?1?1??A C.(AB)?1?1?BA?1?1 D.(A)T?1?(A) 由运算法
1a?1T?1??A。11、设A为n阶方阵,且A?a?0,则A?? C 。A.a B.
n
D.a 因为A?AA??1?A?AA??1?AnA?1?A?An?1?An?1。12、矩
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?1阵?3???1?2?1a1020??2的秩为2,则a= D 。 A. 2 B. 3 C.4 D.5 通过初??2???1210??1210?等变换,由秩为2可得:?3?102???0?7?32?三、计算题(每小题7分,共42分)13、计算行列式:
??????1a2?2??0a?500?????41111411114111144141111411114====7777141111411114====71111141111411114=====71000130010301003=7?3=1893。 解:111。14、
各列加到第一列上第一列提到外面第一行乘-1加到各行上a10a2b300b2a30b100a4计算行列式:
00b4。解:先按第一行展开,再按第三行展开,有:
a100b40a2b300b2a30b100a4a2b2a3a4?b1b4a2b3b2a3?(a1a4?b1b4)(a2a3?b2b3)。15、问?取何值时,齐次线性
=a1b3?(1??)x1?2x2?4x3?0?方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解。解:齐次线性方程组有非零解,则系数行列式为零:
?x?x?(1??)x?023?11??0=21?2A???3?23??1411??r2?2r3r1?(1??)r30?34?(1??)?1+2?1??2=====01??11?????3??2????,??1?0,?2?2,?3?316、设矩阵
0???,B???1??1?22?1?1?,计算B?A(BA)。解:因为A?2,B??7,所以都可逆,有 2?51???11??52???????。17、解矩阵方程4??25??919?B?A(BA)22?1?1??322?12?B?AAB?B?AB?(B?A)B????1AX?B?X,求X,其中A=
?0???1??1?1100??1?,?1???1?B??2?5??1??0??3??。 解
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AX?B?X?(A?E)X??B?X??(A?E)B?1,?(A?E)?1?0??1??0??23?2313?13???13??13???
?3??1X??(A?E)B?2??1??A1A???0?5?1??2??0。18、设A???0?1????0?2??1??1210000110??0?,利用分块矩阵计算A?1。 ?2??1???2??1??10??5?1?A??1?A2??2?A1???0?1?1????20013500?2??1?1,A??2?5??10??0?23??13???13????1323??13? 解:
A?1?1?0???2??1?A2??0??0??2四、证明题(每小题
?1335分,共10分)19、设n阶方阵A满足?A?E??0,证明矩阵A可逆,并写出A逆矩阵的表达式。 证明
A(?:
2因
A?3为
?A??EE)?3??33A?123A?A2A?0E?2(?A3A?3,A)?而E?从?EA?3?E?T。,则称矩阵A为反对称矩?203、若矩阵A?3?EA??A?阵,证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。证明:设A为n阶反对称矩阵,n为奇数,则
A??AT?A??AT?(?1)nAT??A?A?0,所以A不可逆,即A不是满秩矩阵。第
A??2,A*二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分,共24分)1、 A为3阶方阵,且
是
?A的
?1伴
?1随
?矩
?1阵
?,则
?14A?1?1?A?1*= ?8A?1 -4 。 因为:
A?AA??2A4A?A?4A?2A?2A??4。2、A为5×3矩阵,秩(A)=3,B?
?1??0?0?0202??0?,则秩(AB)= 3 。 因为B可逆,AB相当于对A作列初等变换,不改变A的秩。3、3???1,?2,?1,?2,?3均为4维列向量,A?(?1,?1,?2,?3),B?(?2,?1,?2,?3),
A?1,B?4 ,则A?B= 40 。
A?B?(?1??2,2?1,2?2,2?3)?A?B?(?1??2,2?1,2?2,2?3)?1??t?????。4、???2?,???3?,且
?8?1??2,?1,?2,?3)?8??1,?1,?2,?3??2,?1,?2,?3??8(1?4)?40?1??2?????共3页第39页
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T???4,则t = -4 。 ????1T2?t???1?3?t?6?2?4???2????t??4。5、如果n元非齐
次线性方程组AX?B有解,R(A)?r,则当 n 时有唯一解;
当 < n 时有无穷多解。 非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组AX?B的3个解?1??2?????13?0??1?????是?1,?2,?3。其中?1?,如R(A)?3,则方程组AX?B的通解是?1??1? 。 ,?2??3??1??4?k??????2??1????1???5????3?????????????1?因为R(A)?3,所以AX?0的基础解系含4-3=1个解向量;又?2??1,解,相加也是
AX?0?3??1 都是AX?0的
的解,从而可得AX?0的一个解为:
????2??1????3??1??2??1??0???????311???2??3??2?1????2?????, 于是AX??4??1??2????5???1????3????????B的通解为:
?0??1?????11X?k???1?k?????。二、单项选择题(每小题4分,共24分)7、对行列式做 D 种变换
?2??1???3????1??????不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零n阶方阵A,B,C满足ABC?E,数乘某一行加到另外一行8、其中E为单位矩阵,则必有 D 。
A.ACB?E B.CBA?E C.BAC?E D.BCA?E 矩阵乘法不满足变换律,而?1??1?1D中ABC?E?AABCA?AEA?BCA?E。9、矩阵?3??1?2?1t?11020??2的秩为2,则t= ??2??D A. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换,由秩为2可得:
2?1?3?1???1t?1?10????02????2???2?10?0t?27?61?0?3。210、若方阵An?n不可逆,则A的列向量中 C 。A. 必有一个?0??0向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵An?n不可逆,则A的列向量线性相关,,由定义可得。11、若r维向量组?1,?2??m线性相关,?为任一r维向量,则 A 。A. ?1,?2??m,?线性相关 B. ?1,?2??m,?线性无关 C. ?1,?2??m,?线性
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线性代数考试试卷+答案超强合集
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