大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
??2x1?x2?3x3?0??x1?3x2??1??2x2?2x3?4?3x1?4x2?x3?9.?以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A施行初等行变换
?1??0????0??0?2039?102606832??1???2??0????0?2????2??0?2300?1200086?21A
2??1???3??0????0?2???7??0?2300?120008302???3??1??0?=B.（1）秩（B）=3，所
以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值λ=1的2个
?25/5???1=??5/5???0??TT
线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）， ξ2=（2，0，1）.经正交标准化，得η
，
η
?25/15???2=?45/15???5/3??.λ=-8的一个特征向量为ξ
?1???3=?2?????2?，经单位化得η
?1/3???3=?2/3?.????2/3?所求正交矩阵为
T=
?25/5???5/5?0?215/1545/155/31/3??2/3???2/3?.对角矩阵
?1?D=?0??00100??0?.（也可取??8??25/5?T=?0??5/5215/15?5/3?45/151/3??2/3???2/3?.）
31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设
?y1?x1?2x2?2x3??x2?x3?y2???y3?x3??x1?y1?2y2?y2?y3即?x2??x?y3?3?1?C=?0??0?2100??1??1?， ，因其系数矩阵可逆，故此线性变
换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形
y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
2
3
-1
2
32.证 由于（E-A）（E+A+A）=E-A=E，所以E-A可逆，且（E-A）= E+A+A.33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ
2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而
l0=0 .所以
η0，η1，η2线性无关。一、填空题(每小题4分，共24分)若a1ia23a35a5ja44是五阶行列式中带正号的一项，则i?1,j?2。令i?1,j?2，?(12354)??(13524)?1?3?4，取正号。若将n阶
(?1)Dn行列式D的每一个元素添上负号得到新行列式D，则D= 。即行列式D的每一行都有一
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个(-1)的公因子，所以D=
(?1)Dn。3、设A???1?01??1100, 则=A??1??0100??。 1??12A???01??1??1??01??1???1??02??13,A???1??02??1??1??01??1???1??03?设A为5 阶方阵，A?5，?,?可得4、
1?nn?1则5A?且
T5n?1。 由矩阵的行列式运算法则可知：5A?5A?5
T。5、A为n阶方阵,AAT?E已，
知而
条
件 0x2A?0,则A?E?T
20 。由：：0??y?3??AA?E?AA?AA?A?E?1?A??1,?A??1A?E?A?AAT?AE?AT?2?6、设三阶方阵A?0?AA?E??A?E?A?E?0。??0?可逆，则x,y应满足条件3x?2y2A?00a11a21a31a12a22a32。 可逆，则行列式不等于零：
0x20y?2?(3x?2y)?03a13a23?M?0a33?3x?2y。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、设
，则行列式
?2a11?2a31?2a21?2a12?2a32?2a22?2a13 A 。A．8M?2a33??2a23 B．2M
C．?2M
?2a11?2a31?2a21 D．?8M
?2a133?2a12?2a32?2a22a11a21a12a32a22a13a23a11a31a12a22a32a13a23?8Ma33?2a33???2?a31?2a23a33???8?(?1)a218、设n阶行列式Dn，则Dn?0由于
的必要条件是 D 。A．Dn中有两行(或列)元素对应成比例 B．Dn中有一行(或列)元素全为零 C．Dn中各列元素之和为零 D．以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意
?1?1?1同阶方阵A,B，下列说法正确的是 C 。A.(AB)?AB B.A?B?A?B C.
(AB)TTT?BA D.AB?BA 10、设A,B为同阶可逆矩阵，??0为数，则下列命题中不正确的是
B 。A.(A)则，就有(?A)C．an?1?1?1?A B.(?A)1?1?1??A C.(AB)?1?1?BA?1?1 D.(A)T?1?(A) 由运算法
1a?1T?1??A。11、设A为n阶方阵，且A?a?0，则A?? C 。A．a B．
n
D．a 因为A?AA??1?A?AA??1?AnA?1?A?An?1?An?1。12、矩
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?1阵?3???1?2?1a1020??2的秩为2，则a= D 。 A. 2 B. 3 C.4 D.5 通过初??2???1210??1210?等变换，由秩为2可得：?3?102???0?7?32?三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式：
??????1a2?2??0a?500?????41111411114111144141111411114====7777141111411114====71111141111411114=====71000130010301003=7?3=1893。 解：111。14、
各列加到第一列上第一列提到外面第一行乘-1加到各行上a10a2b300b2a30b100a4计算行列式：
00b4。解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：
a100b40a2b300b2a30b100a4a2b2a3a4?b1b4a2b3b2a3?(a1a4?b1b4)(a2a3?b2b3)。15、问?取何值时，齐次线性
=a1b3?(1??)x1?2x2?4x3?0?方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解。解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：
?x?x?(1??)x?023?11??0=21?2A???3?23??1411??r2?2r3r1?(1??)r30?34?(1??)?1+2?1??2=====01??11?????3??2????,??1?0,?2?2,?3?316、设矩阵
0???,B???1??1?22?1?1?，计算B?A(BA)。解：因为A?2,B??7，所以都可逆，有 2?51???11??52???????。17、解矩阵方程4??25??919?B?A(BA)22?1?1??322?12?B?AAB?B?AB?(B?A)B????1AX?B?X，求X，其中A=
?0???1??1?1100??1?,?1???1?B??2?5??1??0??3??。 解
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AX?B?X?(A?E)X??B?X??(A?E)B?1,?(A?E)?1?0??1??0??23?2313?13???13??13???
?3??1X??(A?E)B?2??1??A1A???0?5?1??2??0。18、设A???0?1????0?2??1??1210000110??0?，利用分块矩阵计算A?1。 ?2??1???2??1??10??5?1?A??1?A2??2?A1???0?1?1????20013500?2??1?1,A??2?5??10??0?23??13???13????1323??13? 解：
A?1?1?0???2??1?A2??0??0??2四、证明题(每小题
?1335分，共10分)19、设n阶方阵A满足?A?E??0，证明矩阵A可逆，并写出A逆矩阵的表达式。 证明
A(?：
2因
A?3为
?A??EE)?3??33A?123A?A2A?0E?2(?A3A?3，A)?而E?从?EA?3?E?T。，则称矩阵A为反对称矩?203、若矩阵A?3?EA??A?阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。证明：设A为n阶反对称矩阵，n为奇数，则
A??AT?A??AT?(?1)nAT??A?A?0，所以A不可逆，即A不是满秩矩阵。第
A??2,A*二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 A为3阶方阵,且
是
?A的
?1伴
?1随
?矩
?1阵
?,则
?14A?1?1?A?1*= ?8A?1 -4 。 因为：
A?AA??2A4A?A?4A?2A?2A??4。2、A为5×3矩阵,秩(A)=3,B?
?1??0?0?0202??0?,则秩(AB)= 3 。 因为B可逆，AB相当于对A作列初等变换，不改变A的秩。3、3???1,?2,?1,?2,?3均为4维列向量，A?(?1,?1,?2,?3)，B?(?2,?1,?2,?3)，
A?1，B?4 ，则A?B= 40 。
A?B?(?1??2,2?1,2?2,2?3)?A?B?(?1??2,2?1,2?2,2?3)?1??t?????。4、???2?，???3?，且
?8?1??2,?1,?2,?3)?8??1,?1,?2,?3??2,?1,?2,?3??8(1?4)?40?1??2?????共3页第39页
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T???4，则t = -4 。 ????1T2?t???1?3?t?6?2?4???2????t??4。5、如果n元非齐
次线性方程组AX?B有解，R(A)?r，则当 n 时有唯一解；
当 < n 时有无穷多解。 非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组AX?B的3个解?1??2?????13?0??1?????是?1,?2,?3。其中?1?，如R(A)?3，则方程组AX?B的通解是?1??1? 。 ,?2??3??1??4?k??????2??1????1???5????3?????????????1?因为R(A)?3，所以AX?0的基础解系含4-3=1个解向量；又?2??1,解，相加也是
AX?0?3??1 都是AX?0的
的解，从而可得AX?0的一个解为：
????2??1????3??1??2??1??0???????311???2??3??2?1????2?????， 于是AX??4??1??2????5???1????3????????B的通解为：
?0??1?????11X?k???1?k?????。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、对行列式做 D 种变换
?2??1???3????1??????不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零n阶方阵A,B,C满足ABC?E，数乘某一行加到另外一行8、其中E为单位矩阵，则必有 D 。
A.ACB?E B.CBA?E C.BAC?E D.BCA?E 矩阵乘法不满足变换律，而?1??1?1D中ABC?E?AABCA?AEA?BCA?E。9、矩阵?3??1?2?1t?11020??2的秩为2，则t= ??2??D A. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换，由秩为2可得：
2?1?3?1???1t?1?10????02????2???2?10?0t?27?61?0?3。210、若方阵An?n不可逆，则A的列向量中 C 。A. 必有一个?0??0向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵An?n不可逆，则A的列向量线性相关，，由定义可得。11、若r维向量组?1,?2??m线性相关，?为任一r维向量，则 A 。A. ?1,?2??m,?线性相关 B. ?1,?2??m,?线性无关 C. ?1,?2??m,?线性
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