大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题
?0??1??0?1?1?????（2分）（4）将?1,?2,?3单位化得p1?（5）?1，p2?0，p3?1 （2分）??????2?2????0?1?????1?????????????????????0121210001212取
P??p1,p2,p3?（6）
?1??1PAP?0??0?0200??0 ?5??（1分）14、解：该非齐次线性方程组Ax?b对应的齐次方程组为Ax?0因R(A)?3，则齐
次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （
5
分
）
另
一
方
面
，
记
向
量
??2?1?(?2??3)T，
?0则
A??A(2?1??2??3)?2A?1?A?2?A?3?2b?b?b?0直接计算得??(3,4,5,6)，?就
是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为
?3??2??????4??3?x?k???1?k?????，k?R。 （7分）15、解：将①与②联立得非齐次线性
54?????6??5??????0,?x1?x2?x3??0,?x1?2x2?ax3方程组:? 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且2x?4x?ax?0,23?1?x?2x?x ?a?1.23?1③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得
?1??1A??1??1?12421aa210??1??0??0??00?????0a?1??11001a?1(a?2)(a?1)1?a0??0?0??a?1??. （4分）1°当a?1时，有
r(A)?r(A)?2?3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此
时
?1??0A??0??0?010010000????1???0?0，则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ??0??1?????0?,所以①与②
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??1???的全部公共解为k?0?，k为任意常数. （4分）2° 当a?2时，有r(A)?r(A)?3，
?1????1??0方程组③有唯一解, 此时A??0??0?010000100???0?1???1故方程组③的解为:???1??????1??0?, 即①与②有唯一
?0???公共解x??1?. （4分）全国2011
??1???年4月高等教育自学考试线性代数（经
管类）试题课程代码：04184
说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．下列等式中，正确的是（ ） A．C．5
B．3D．
=
2．下列矩阵中，是
初等矩阵的为（ ）A． B．
C． D．3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，
则C-1是（ ）A．C．
B．D．B．1 D．35．设向量
4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则
矩阵A*的秩r (A*)=（ ）A．0 C．2
若有常数a,b使C．a=1, b=-2
，
B．a=-1, b=2 b=26
．
向
量
组
，则（ ）A．a=-1, b=-2
D
．
a=1,
的极大线性无关组为（ ）
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A．B．C． D．7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向
量组的秩为（ ） A．3 C．1
有一个特征值等于（ ）
A．
B．2 D．08．设
是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵
B．
C．
的特征向量为（ ）A．（0，0，0）T C．（1，0，-1）
T
D．9．设矩阵A=B．（0，2，-1）T
，则A的对应于特征值
D．（0，1，1）10．二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x1x2?x22的
T
矩阵为（ ）A． B．
C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小
题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．行列式
301?13410?2010212__________.12．行列式
105中第4行各元素的代数余子式之和为
__________.13．设矩阵A=
3
，B=（1，2，3），则BA=__________.14．设3阶方阵A的行列式|A|=
-1
-1
2
2
，
则|A|=__________.15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，AB=BA=E，则A+B=__________.16．已知3维向量=（1，-3，3），
（1，0，-1）则+3=__________.17．设向量=（1，2，3，4），则的单
位化向量为__________.18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为__________.19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为,,|B|=__________.20．设A=
-1
111234，则行列式
是正定矩阵，则a的取值范围为__________.三、计算题（本大题共6
小题，每小题9分，共54分）21．已知矩阵A=，B=
，求：（1）ATB；（2）|ATB|.
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22．设A=，B=，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.23．求向量组=（1, 2, 1, 0）
T
，=（1, 1, 1, 2），
T
=（3, 4, 3, 4），
T
=（4, 5, 6, 4）的秩与一个极大线性无关组. 24．判断线性
T
?x1?x2?3x3?x4?1?方程组?2x1?x2?x3?4x4?2是否有解，有解时求出它的解.25．已知2阶矩阵A的特征值为
?x?4x?5x??134?1=1，=9，
对应的特征向量依次为=（-1，1），=（7，1），求矩阵A.26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=
TT
，
求行列式|A-E|的值.四、证明题（本大题共6分）27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：
（1）AB-BA为对称矩阵；（2）AB+BA为反对称矩阵.
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